Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: algorithmique},
pdftitle={Algorithmique},
pdfkeywords={Math�matiques, 1S, premi�re S, g�om�trie,
vecteurs, droites, coordonn�es, rep�re, �quation de droite,
�quation cart�sienne}
}
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\voffset=-1.2cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{G�om�trie vectorielle analytique}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$
\section{Rappels: Rep�re, coordonn�es et �quation r�duite de droite}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Un rep�re du plan est constitu� par:
\bgit
\item[$\bullet$] le choix d'un point {\bf origine du rep�re}
(not� en g�n�ral $O$)
\item[$\bullet$] le choix d'un
{\bf couple de vecteurs non colin�aires}
(en g�n�ral $(\vec{i},\vec{j})$).
\enit
On note un tel rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$.
\bgmp[t]{8cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,5)
\rput(0,4.5){{\bf Rep�re orthonormal}}
\rput(0,4){$\vec{i}\perp\vec{j}$, et $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|$}
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\psline(-2.4,0)(2.4,0)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
\rput(.5,-0.3){$\vec{i}$}
\psline(0,-2.4)(0,3.4)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
\rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
\multido{\i=-2+1}{5}{
\psline[linestyle=dashed](\i,-2.2)(\i,3.2)
}
\multido{\i=-2+1}{6}{
\psline[linestyle=dashed](-2.2,\i)(2.2,\i)
}
\rput(5,4.5){{\bf Rep�re orthogonal}}
\rput(5,4){$\vec{i}\perp\vec{j}$}
\rput(4.7,-1.3){$O$}
\psline(2.6,-1)(7.4,-1)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(5,-1)(6,-1)
\rput(5.5,-1.3){$\vec{i}$}
\psline(5,-3.4)(5,2.4)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(5,-1)(5,1)
\rput(4.7,-.5){$\vec{j}$}
\multido{\i=3+1}{5}{
\psline[linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,3.2)
}
\multido{\i=-3+2}{4}{
\psline[linestyle=dashed](2.8,\i)(7.2,\i)
}
\rput(12,4.5){{\bf Rep�re quelconque}}
\rput(12,4){$\vec{i}$, $\vec{j}$ quelconques}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}\vspace{-3cm}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm}
\newlength{\xydef}\setlength{\xydef}{1.5cm}
\begin{pspicture}*(-3.5,-5)(7,5)
% Les axes principauex :
\psline[linewidth=1.5pt](-6.8,0)(7.,0)
\psline[linewidth=1.5pt](-2.2,-3.3)(2.2,3.3)
% Le quadrillage :
\newlength{\tmpxd}\newlength{\tmpxf}
\multido{\n=-6+1.5}{12}{
\setlength{\tmpxd}{-2cm-\n\xydef}
\setlength{\tmpxf}{2cm-\n\xydef}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](\tmpxd,-3)(\tmpxf,3)
}
\multido{\n=-3+1.0}{7}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](-7,\n)(7,\n)
}
% On indique le rep�re en rouge :
\put(-.6,-.45){{$O$}}
\psline[linewidth=3pt]{->}(0,0)(2.3,0)
\put(0.4,-0.5){{$\vec{i}$}}
\psline[linewidth=3pt]{->}(0,0)(0.667,1)
\put(-0.2,0.4){{$\vec{j}$}}
\end{pspicture}
}
\enmp
}
\vspace{-0.5cm}
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgth{
Dans le rep�re $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
tout point $M$ du plan admet un unique couple de coordonn�es $(x;y)$
tel que
\[\V{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}\]
Les coordonn�es d'un vecteur $\vec{w}$ sont celles du point $M$ tel
que $\V{OM}=\vec{w}$.
}
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,1.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.2){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0.3,0.9)\rput(-0.1,0.45){$\vec{j}$}
\psline(-0.4,0)(3,0)
\psline(-0.3,-.9)(0.6,1.8)\rput(-0.3,-0.2){$O$}
\psline{->}(0,0)(2.2,1.2)
\psline[linestyle=dashed](1.8,0)(2.2,1.2)
\psline[linestyle=dashed](0.4,1.2)(2.2,1.2)
\rput(2.4,1.4){$M$}\rput(1,0.8){$\vec{w}$}
\rput(1.8,-0.2){$x$}
\rput(0.2,1.2){$y$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-0.2cm}
\bgprop{
Dans le rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$.
\bgit
\item[1)] Deux vecteurs sont �gaux si et seulement si ils ont les
m�mes coordonn�es:
\[ \mbox{ si }\ \vec{u}(x;y) \ \mbox{ et, }\ \vec{v}(x';y')
\ \mbox{alors, }\
\vec{u}=\vec{v}
\Longleftrightarrow \la\bgar{l}x=x'\\y=y'\enar\right.\]
\item[2)] Si $\vec{u}$ a pour coordonn�es $(x;y)$ et $\vec{v}$ a
pour coordonn�es $(x';y')$, alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour
coordonn�es $(x+x';y+y')$.
Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonn�es $(kx;ky)$.
\item[3)] Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn�es
$(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ alors,
\bgit
\item[$\bullet$] $\V{AB}$ a pour coordonn�es
$(x_B-x_A;y_B-y_A)$
\item[$\bullet$] le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonn�es
$\dsp \lp\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\rp$
\item[$\bullet$] si le rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$ est
orthonormal, alors la longueur du vecteur $\V{AB}$ est
\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
\enit
\enit
}
\bgex
Soit dans un rep�re les points
$A(-1;1)$, $B(2;3)$, $C(-2;-4)$ et $D(1;-2)$.
Montrer de deux mani�res diff�rentes que le quadrilat�re $ABDC$ est un
parall�logramme.
\enex
\bgex
Soit dans un rep�re $A(2;3)$, $B(-5;7)$ et $C(3;-12)$.
D�terminer les coordonn�es des vecteurs
$\V{AB}$, $\V{BC}$, $\V{AC}$, et $\vec{u}=\V{AB}+\V{BC}$.
Que retrouve-t-on ?
\enex
\bgprop{{\bf Equation r�duite d'une droite}
Toute droite $D$ non parall�le � l'axe des ordonn�es admet une �quation
de la forme $y=ax+b$ o� $a$ et $b$ sont deux nombres r�els,
\bgit
\item[$\bullet$] le point $A(0;b)$ appartient � la droite $D$;
$b$ s'appelle ainsi l'ordonn�e � l'origine de la droite $D$.
\item[$\bullet$] Lorsque $x$ augmente de $1$, $y$ varie de $a$;
$a$ s'appelle le coefficient directeur de la droite.
\enit
}
\vspq\noindent
\ul{Remarque:} Toute droite d'�quation $y=ax+b$ est la
repr�sentation graphique de la fonction affine $f(x)=ax+b$.
Les points de $\Cf$ sont les points $M(x;y)$ tels que
$y=f(x)$, soit $y=ax+b$.
\psset{xunit=.9cm,yunit=.7cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,6)
\rput(-2.8,5){\ul{Exemple:}\ \ $D:y=2x-2$}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot{-0.8}{3.5}{2 x mul -2 add}\rput(4,5){$D$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(2,2)(3,2)
\rput(2.5,1.7){$1$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,2)(3,4)
\rput(3.8,3){$a=2$}
\psline(-0.2,-2)(0.2,-2)\rput(-1,-2){$b=-2$}
\end{pspicture}
\bgex
Tracer les droites $D_1:y=3x-2$ et $D_2:y=-2x+1$.
\enex
\bgprop{Les droites d'�quations $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$ sont
parall�les si et seulement si $a=a'$.
}
\section{Vecteurs colin�aires}
\bgdef{
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colin�aires
lorsqu'ils ont la m�me direction.
}
\bgth{
\bgit
\item[$\bullet$] Deux vecteurs $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{CD}$
sont colin�aires si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$
sont parall�les.
\item[$\bullet$] Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
colin�aires si et seulement si il existe un nombre r�el $k$ tel
que $\vec{u}=k\vec{v}$, c'est-�-dire si et seulement si les
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont proportionnels.
\enit
}
\bgth{Les vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont
colin�aires si et seulement si $xy'-x'y=0$.
}
\bgex Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont
colin�aires.
\vsp\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-1;\frac{3}{2}\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp\frac{1}{2};\frac{1}{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp\frac{4}{5};\frac{3}{3}\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp\sqrt{2};\sqrt{3}\rp$ et
$\dsp\vec{v}\lp-2;-\sqrt{6}\rp$.
\enex
\pagebreak
\bgex
Dans un rep�re, soit les vecteurs
$\vec{u}(2;3)$, $\vec{v}(-4;6)$ et
$\vec{w}(-4;3)$.
Le vecteur $\vec{z}=2\vec{u}-3\vec{v}$ est-il colin�aire au vecteur
$\vec{w}$ ?
\enex
\bgex Dans chaque cas,
d�terminer le r�el $m$ pour que les deux vecteurs $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ soient colin�aires.
\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;6\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp m;3\rp$.
\hspace{0.5cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp27;2m\rp$ et
$\dsp\vec{v}\lp2m;3\rp$.
\hspace{0.5cm}
c) $\dsp\vec{u}(2m;3m)$ et $\vec{v}(-2;3m)$
\enex
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] Trois points $A$, $B$ et $C$ sont align�s si et
seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ sont colin�aires.
\item[$\bullet$] Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parall�les si et
seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$ sont colin�aires.
\enit
}
\bgex Dans un rep�re, on donne les points:
\[ A(-2;1)\ ;\ B(3;3) \ ;\
C\lp 1;\frac{11}{5}\rp\ ;\ D\lp\frac{45}{2};\frac{54}{5}\rp
\]
\bgit
\item[a)] D�montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont align�s.
\item[b)] Les points $A$, $B$ et $D$ sont ils align�s ?
\enit
\enex
\bgex
Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points
$A(-2;3)$, $B(4;7)$ et $C(3;2)$.
\bgen
\item D�montrer que les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont parall�les.
\item $M(x;0)$ est un point de l'axe des abscisses.
Calculer $x$ pour que $A$, $B$ et $M$ soient align�s.
\enen
\enex
\bgex
Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points
$A(-3;2)$ et $B(-1;7)$.
Le point $M\lp-6;-\dfrac{11}{2}\rp$ est-il un point de $(AB)$ ?
\enex
\section{Equation cart�sienne d'une droite}
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgdef{
Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur $\vec{u}$, non
nul, dont la direction est celle de $d$.
}
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(2,1)
\psline(-0.9,-0.3)(4.2,1.4)\rput(4,1.6){$d$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.6,0.2)(1.8,0.6)\rput(1.1,0.7){$\vec{u}$}
\rput(0,0){$\tm$}\rput(0,0.3){$A$}
\rput(2.7,0.9){$\tm$}\rput(2.7,1.2){$B$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.8,-0.8)(3,-0.4)\rput(2.4,-0.3){$\vec{u}$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspd\noindent
\ul{Remarques:}
\bgit
\item[$\bullet$] Si $A$ et $B$ sont deux points de la droite $d$,
alors $\V{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
\item[$\bullet$] Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, alors
pour tout r�el $k$, $k\not=0$, $k\vec{u}$ est aussi un vecteur
directeur de $d$.
\enit
\bgth{
Soit $d$ et $d'$ deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et
$\vec{u}'$, alors
\[
d /\!\!/ d' \iff \vec{u} \mbox{ et } \vec{u}' \mbox{ colin�aires}
\]
}
\bgth{Dans un rep�re,
\bgen
\item Toute droite $d$ a une �quation de la forme
$ax+by+c=0$, avec $a\not=0$ ou $b\not=0$.
Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est alors un vecteur directeur de $d$.
\item Si $a$, $b$ et $c$ sont trois r�els, avec
$a\not=0$ ou $b\not=0$, alors l'ensemble des points $M(x;y)$ du
plan tels que $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur
$\vec{u}(-b;a)$.
\enen
\vspd
Une �quation de la forme $ax+by+c=0$ s'appelle une
{\bf �quation cart�sienne} de la droite $d$.
}
\bgproof{
\bgen
\item Soit une droite $d$, $A(x_0;y_0)$ un point de $d$,
et $\vec{u}(p;q)$ un vecteur directeur de $d$.
Soit $M(x;y)$ un point de $d$, alors les vecteurs
$\vec{u}(p;q)$ et $\V{AM}(x-x_0;y-y_0)$ sont colin�aires,
donc,
$p(y-y_0)-q(x-x_0)=0 \iff py-qx-py_0+qx_0=0
\iff ax+by+c=0$
avec $a=-q$, $b=p$ et $c=py_0-qx_0$.
\item R�ciproquement, soit $d$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels
que $ax+by+c=0$, alors,
\bgit
\item[$\bullet$] si $b\not=0$,
$ax+by+c=0\iff y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$.
Cette �quation est de la forme $y=mx+p$ qui est l'�quation
r�duite d'une droite.
\item[$\bullet$] si $b=0$, alors $a\not=0$, et
$ax+by+c=0\iff ax+c=0 \iff x=-\dfrac{c}{a}$, qui est l'�quation
de la droite d'�quation $x=-\dfrac{c}{a}$ parall�le � l'axe des
ordonn�es.
\enit
\enen
}
\bgex
Donner une �quation cart�sienne de la droite $d$ d'�quation
$y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{5}$.
\enex
\bgex
Dans chacun des cas, dire si les droites $d$ et $d'$ sont parall�les:
\bgen
\item Les droites $d$ et $d'$ ont pour �quations
$2x-3y+67=0$ et $8x-12y+0,3=0$.
\item Les droites $d$ et $d'$ ont pour �quations
$x-\dfrac{4}{7}y+2=0$ et $\dfrac{5}{3}x-y+3=0$.
\item $d$ a pour vecteur directeur
$\vec{u}=\dfrac{-9}{2}\vec{i}+3\vec{j}$ et $d'$ a pour �quation
$2x+3y-3=0$.
\enen
\enex
\bgcorol{
La droite d'�quation r�duite $y=mx+p$ a pour vecteur directeur
$\vec{u}(1;m)$.
}
\bgproof{
$y=mx+p \iff mx-y+p=0$, et les coordonn�es d'un vecteur directeur
se trouve en utilisant le th�or�me pr�c�dent:
$\vec{u}\lp-(-1);m\rp=(1;m)$.
}
\bgex
D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d$ passant par
$A(-2;5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=(2;3)$.
\enex
\bgex
On donne les points $A(1;-1)$ et $B(3;2)$.
D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par $A$ et $B$.
\enex
\bgex
D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par le point
$A(-5;3)$ et qui a pour coefficient directeur $m=\dfrac{2}{3}$.
\enex
\bgex
Dans un rep�re $(0;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points
$A(1;5)$, $B(-3;2)$ et $C(5;-1)$.
\bgen
\item D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d$ passant par
$A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;1)$.
\item D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d'$ passant
par $A$ et parall�le � $(BC)$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item D�montrer que les droites d'�quations respectives $5x-2y-4=0$
et $y=-2,5x+0,5$ ne sont pas parall�les.
\item Tracer ces droites dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$.
\item Quelles sont les coordonn�es de leur point d'intersection ?
\enen
\enex
\bgex
Pour quelle valeur du nombre $m$, les droites $d$ et $d'$
d'�quations respectives $3x+y=0$ et
$(2m-1)x+(m-3)y-1=0$ sont-elles parall�les ?
\enex
\bgex
\bgen
\item Les vecteurs $\vec{u}\lp2\sqrt{3};3\rp$ et $\vec{v}\lp4;2\sqrt{3}\rp$
sont-ils colin�aires ?
\item Le point $A(6;3)$ est-il un point de la droite
$d: 2x-5y+3=0$ ?
\item D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par le point
$A(0;2)$ et de coefficient directeur~$3$.
\item D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par
$A(1;5)$ et $B(-102;-201)$.
\item La droite $d$ passant par les points $A(-3;22)$ et
$B(112;-553)$ est-elle parall�le � la droite $d'$ dont le
coefficient directeur vaut $-5$ ?
\item La droite $d$ a pour �quation $2x-3y+5=0$.
Quelle est son ordonn�e � l'origine ?
\item La droite $d$ a pour �quation $2x-3y+5=0$.
D�terminer les coordonn�es des points d'intersection de la droite
$d$ avec les axes du rep�re.
\item Soit la droite $d$ d'�quation $3y-x+1=0$.
Donner un point et un vecteur directeur de $d$.
\item Trouver une �quation de la droite $\Delta$ passant par le point
$A(-1;4)$ et parall�le � la droite $d$ d'�quation
$3x-2y+1=0$.
\item Trouver une �quation de la droite $d$ passant par le point
$C(3;2)$ et parall�le � la droite $d$ passant par les points
$A(-1;5)$ et $B(2;-2)$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $\Delta$ la droite passant par le point $M(1;-1)$ et de vecteur
directeur $\vec{u}(1;3)$.
Soit de plus les points $A(8;7)$ et $B(-2;3)$.
La droite $\Delta$ passe-t-elle par le milieu $I$ de $[AB]$ ?
\enex
\bgex
Dans chacun des cas suivants, dire si les droites $d$ et $d'$ sont
confondues, parall�les distinctes ou s�cantes.
Si ces droites sont s�cantes, calculer les coordonn�es de leur point
d'intersection.
\vspd
\begin{tabular}{*4{p{4.4cm}}}
a)\ $\la\bgar{ll} 2x-y+5=0\\ 3x-5y+6=0\enar\right.$
&b)\ $\la\bgar{ll} 8x+2y+6=0\\ 3x+\dfrac{3}{4}y-5=0\enar\right.$
&c)\ $\la\bgar{ll} x+3y-6=0\\ \dfrac{1}{3}x+y-2=0\enar\right.$
\end{tabular}
\enex
\bgex
V�rifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colin�aires, et
d�terminer des r�els $a$ et $b$ tels que
$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$.
\bgen
\item $\vec{u}(3;-1)$; $\vec{v}(1;4)$; $\vec{w}(5;7)$.
\item $\vec{u}\lp\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{4}\rp$;
$\vec{v}(-4;1)$;
$\vec{w}(-2;4)$.
\enen
\enex
\bgex Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$,
la droite $d_1$ passe par le point $A(4;3)$ et a pour vecteur
directeur $\vec{u}(3;2)$.
La droite $d_2$ passe par le point $B(6;0)$ et a pour vecteur
directeur $\vec{v}(2;-1)$.
$d_3$ est une droite passant par $C(4;-2)$ et $\vec{w}$ est un de ses
vecteurs directeurs.
\vsp
D�montrer que $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont concourantes si et seulement
si $\vec{w}$ est colin�aire au vecteur $4\vec{i}-9\vec{j}$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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