Source Latex: Exercices de mathématiques en 1ère S


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Type: Exercice
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Description
Activité mathématiques: réflexion de rayons sur une parabole. Tangente et normale à une parabole, loi de Snell-Descartes. Foyer de la parabole.
Niveau
1ère S
Mots clé
parabole, tangente, normale, loi de Snell-Descartes, foyer de la parabole, équation de droite, vecteur directeur, activité mathématique, maths
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercice de mathématiques - Réflexion de rayons dans dans une parabole - Foyer d'une parabole},
    pdftitle={Rayons dans une parabole - Réflexion normale, tangente et foyer},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S, 
      parabole, droites normale, tangente, foyer}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
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\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Réflexion de rayons sur une parabole}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\ct{\LARGE \bf \TITLE}

\bigskip

On considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$. 
On s'intéresse dans cet exercice aux propriétés de réflexions 
de la parabole de rayons incidents parallèle à l'axe de la parabole, 
c'est-à-dire de rayons dirigés par le vecteur 
$\V{u_i}(0;1)$. 

\medskip
On se place dans un repère orthonormal et, 
pour tout réel $a$, on note $A$ le point de $\mathcal{P}$ d'abscisse $a$, 
$T_a$ la tangente à $\mathcal{P}$ en $A$ 
et $\V{n_a}$ un vecteur normal à $T_a$. 
D'après la loi de Snell-Descartes, un tel rayon incident dirigé 
par le vecteur $\V{u_i}$ est réflechi 
dans la direction $\V{u_r}$ tel que les angles 
$\lp \V{n_a},\V{u_i}\rp=\lp\V{u_r},\V{n_a}\rp$. 

\bgen[I-]
\item \textbf{Représentation graphique - Conjecture} \\
  Représenter le rayon incident sur la parabole au point d'abscisse 
  $a=3$, la tangente $T_3$, le vecteur $\V{n_3}$ et le rayon réflechi 
  correspondant. 

  \medskip
  Représenter de m\^eme les rayons incidents, tangentes, normales et 
  rayons réfléchis aux points d'abscisses $a=-3$, $a=2$, $a=-2$ 
  et $a=1$. 

  \medskip
  Quelle remarque/conjecture peut-on faire ? 


\[\psset{xunit=1.6cm,yunit=.6cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5.2,-1.)(5.2,15.5)
  \psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1)(0,16)
  \psplot[linewidth=2pt]{-4.05}{4.1}{x 2 exp}
  \multido{\i=-4+1}{9}{
    \rput(\i,-.5){$\i$}
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](\i,-.2)(\i,16)
  }
  \multido{\i=5+5}{3}{
    \rput[r](-.1,\i){$\i$}
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](-4.6,\i)(4.6,\i)
  }
  % Rayon 1
  \psline[arrowsize=12pt,linewidth=2.2pt,linecolor=blue]{->}(3,16)(3,9)
  \rput(3.2,9){$A$}
  \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1}{4.3}{6 x mul -9 add}
  \rput(1.6,-.8){\red$T_3$}
  %\psline[linecolor=black,linewidth=2pt,arrowsize=12pt]{->}(3,9)(2,10)
  %\rput(2.5,9){$\V{n_3}$}
  %\psline[linewidth=2pt,linecolor=green](3,9)(0,3)
\end{pspicture}\]



\item \textbf{Cas particulier:}   On prend pour la suite $a=2$. 
  \bgen[1.]
  \item Donner l'équation de $T_a$. 
  \item Donner les coordonnées d'un vecteur $\V{n_a}$. 
  \item On note $\theta=\lp\V{n_a},\V{u_i}\rp$ 
    et $\V{u_r}$ un vecteur unitaire tel que 
    $\lp\V{u_r},\V{n_a}\rp=\theta$
    \bgen[a)]
    \item Montrer que $\V{u_i}\cdot\V{n_a}=\V{u_r}\cdot\V{n_a}$. 
    \item On note les coordonnées $\V{u_r}\lp \alpha;\beta\rp$. 
      Calculer $\alpha$ et $\beta$. 
    \item Donner l'équation de la droite $d_r$ dirigée par $\V{u_r}$ 
      et passant par $A$. 
    \item On note $F$ l'intersection de $d_r$ et de l'axe des ordonnées. 
      Calculer les coordonnées de $F$. 
    \enen
  \enen

\medskip
\item \textbf{Cas général} \\
  Reprendre la partie précédente pour un réel $a$ quelconque. 

  Calculer finalement les coordonnées du point $F_a$ intersection 
  de $d_r$ et de l'axe des ordonnées. 

  Conclure. 
\enen


\label{LastPage}
\end{document}

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