Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercice de mathématiques - Réflexion de rayons dans dans une parabole - Foyer d'une parabole},
pdftitle={Rayons dans une parabole - Réflexion normale, tangente et foyer},
pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S,
parabole, droites normale, tangente, foyer}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Réflexion de rayons sur une parabole}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
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\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\bigskip
On considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$.
On s'intéresse dans cet exercice aux propriétés de réflexions
de la parabole de rayons incidents parallèle à l'axe de la parabole,
c'est-à-dire de rayons dirigés par le vecteur
$\V{u_i}(0;1)$.
\medskip
On se place dans un repère orthonormal et,
pour tout réel $a$, on note $A$ le point de $\mathcal{P}$ d'abscisse $a$,
$T_a$ la tangente à $\mathcal{P}$ en $A$
et $\V{n_a}$ un vecteur normal à $T_a$.
D'après la loi de Snell-Descartes, un tel rayon incident dirigé
par le vecteur $\V{u_i}$ est réflechi
dans la direction $\V{u_r}$ tel que les angles
$\lp \V{n_a},\V{u_i}\rp=\lp\V{u_r},\V{n_a}\rp$.
\bgen[I-]
\item \textbf{Représentation graphique - Conjecture} \\
Représenter le rayon incident sur la parabole au point d'abscisse
$a=3$, la tangente $T_3$, le vecteur $\V{n_3}$ et le rayon réflechi
correspondant.
\medskip
Représenter de m\^eme les rayons incidents, tangentes, normales et
rayons réfléchis aux points d'abscisses $a=-3$, $a=2$, $a=-2$
et $a=1$.
\medskip
Quelle remarque/conjecture peut-on faire ?
\[\psset{xunit=1.6cm,yunit=.6cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5.2,-1.)(5.2,15.5)
\psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)
\psline{->}(0,-1)(0,16)
\psplot[linewidth=2pt]{-4.05}{4.1}{x 2 exp}
\multido{\i=-4+1}{9}{
\rput(\i,-.5){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](\i,-.2)(\i,16)
}
\multido{\i=5+5}{3}{
\rput[r](-.1,\i){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](-4.6,\i)(4.6,\i)
}
% Rayon 1
\psline[arrowsize=12pt,linewidth=2.2pt,linecolor=blue]{->}(3,16)(3,9)
\rput(3.2,9){$A$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1}{4.3}{6 x mul -9 add}
\rput(1.6,-.8){\red$T_3$}
%\psline[linecolor=black,linewidth=2pt,arrowsize=12pt]{->}(3,9)(2,10)
%\rput(2.5,9){$\V{n_3}$}
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=green](3,9)(0,3)
\end{pspicture}\]
\item \textbf{Cas particulier:} On prend pour la suite $a=2$.
\bgen[1.]
\item Donner l'équation de $T_a$.
\item Donner les coordonnées d'un vecteur $\V{n_a}$.
\item On note $\theta=\lp\V{n_a},\V{u_i}\rp$
et $\V{u_r}$ un vecteur unitaire tel que
$\lp\V{u_r},\V{n_a}\rp=\theta$
\bgen[a)]
\item Montrer que $\V{u_i}\cdot\V{n_a}=\V{u_r}\cdot\V{n_a}$.
\item On note les coordonnées $\V{u_r}\lp \alpha;\beta\rp$.
Calculer $\alpha$ et $\beta$.
\item Donner l'équation de la droite $d_r$ dirigée par $\V{u_r}$
et passant par $A$.
\item On note $F$ l'intersection de $d_r$ et de l'axe des ordonnées.
Calculer les coordonnées de $F$.
\enen
\enen
\medskip
\item \textbf{Cas général} \\
Reprendre la partie précédente pour un réel $a$ quelconque.
Calculer finalement les coordonnées du point $F_a$ intersection
de $d_r$ et de l'axe des ordonnées.
Conclure.
\enen
\label{LastPage}
\end{document}
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