Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercice de mathématiques 1ère S - Tourniquet: rayons piégés dans une parabole},
pdftitle={Rayons piégés dans une parabole},
pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S,
droites, équation de droite, parabole,
propriété des paraboles}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
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\topmargin=-2.2cm
\footskip=0.7cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\parindent=0.2cm
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Rayons dans une parabole}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\text{ère}}$ S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE}
\newcommand{\Cnp}[2]{%
\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
\definecolor{lightgray}{gray}{0.85}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\bigskip
On considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$,
et trois directions données par les
vecteurs
\[\V{u}(1;0) \ , \
\V{v}(-1;2)
\ \text{ et } \V{w}(2;-1)\]
\bgmp[b]{7.5cm}
On part du point $M_0$ de la parabole $\mathcal{P}$ \\
d'ascisse $-3$.
\medskip
1. Construire successivement sur la figure ci-contre
les points $M_1$, $M2$, $M_3$, \dots
situés sur $\mathcal{P}$ et tels que
\bgen[$\bullet$]
\item $\V{M_0M_1}$ est colinéaire à $\V{u}$
\medskip
\item $\V{M_1M_2}$ est colinéaire à $\V{v}$
\medskip
\item $\V{M_2M_3}$ est colinéaire à $\V{w}$
\medskip
\item $\V{M_3M_4}$ est colinéaire à $\V{u}$
\medskip
\item \dots
\enen
\medskip
Que remarque-t'on ?
\enmp\quad
\bgmp{10cm}
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5.8,-2)(5.8,30)
\psline{->}(-5.8,0)(5.8,0)
\psline{->}(0,-1)(0,31.5)
\psplot[linewidth=1.6pt]{-5.6}{5.6}{x 2 exp}
\multido{\i=-5+1}{11}{
\rput(\i,-.5){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](\i,-.2)(\i,31)
}
\multido{\i=5+5}{6}{
\rput[r](-.1,\i){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](-5.6,\i)(5.6,\i)
}
\end{pspicture}\]
\enmp
\bgen
\setcounter{enumi}{1}
\nwc{\rpr}{Remarque pr\'eliminaire}
\item
\bgen[\rpr\ 1:]
\item Quel est le coefficient directeur d'une droite $D$ dont
$\V{u}\lp\alpha;\beta\rp$ est un vecteur directeur ?
\item Aucune équation du second degré qui suit ne nécessite
le calcul de son discriminant pour la résoudre.
\enen
\item Déterminer l'équation de la droite $D_0=\lp M_0M_1\rp$ dirigée
par $\V{u}$.
En déduire les coordonnées de $M_1$.
\item Déterminer l'équation de la droite $D_1=\lp M_1M_2\rp$ dirigée
par $\V{v}$.
En déduire les coordonnées de $M_2$.
\item Calculer comme dans les deux questions précédentes
les coordonnées des points $M_3$, $M_4$, $M_5$ et~$M_6$.
\smallskip
Conclure.
\enen
%%%% Quelques résultats:
% M0(-3;9)
% D0=(M0 M1): y=Cte=9 => M1(3;9)
% D1=(M1 M2): y=-2x+15 => M2(-5;25)
% D2=(M2 M3): y=-1/2x+45/2 => M3(9/2;81/4)
% D3=(M3 M4): y=Cte=81/4 => M4(-9/2;81/4)
% D4=(M4 M5): y=-2x+49/4 => M5(5/2;25;4)
% D5=(M5 M6): y=-1/2x+15/2 => M6(-3;9)
% et donc M6=M0 !!
\label{LastPage}
\end{document}
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