Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Simulation et calcul de probabilités},
pdftitle={Simulation et calcul de probabilités},
pdfkeywords={Mathématiques, première, 1èreS, probabilité,
probabilités, tableur, échantillonnage,
fluctuation d'échantillonnage}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
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\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\deftitle}{Définition}
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\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ul{\deftitle:}}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
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\nwc{\proptitle}{Prop.}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ul{\proptitle:}}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
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\nwc{\TITLE}{Loi binomiale et fluctuation d'échantillonnage}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^\text{ère}$ S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\graphicspath{{Intro_Simulation_FIG/}}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
%\hfill{\bf \Large{}}
%\hfill$1^{\mbox{\text{ère}}}S$
\section{Utilisation de la loi binomiale avec un tableur}
On considère la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$
de paramètres $n=4$ et $p=0,3$.
\vspd
\bgen
\item Rappeler la formule: pour une variable aléatoire $X$ suivant la
loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$,
\[ \hspace{-6cm}P(X=k)= \ \dots \]
\item Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$:
\[
\begin{tabular}{|c|*5{p{2cm}|}}\hline
\rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
$k$ & \ct{0} & \ct{1} & \ct{2} & \ct{3} & \ct{4} \\\hline
\rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
$P(X=k)$ & \ct{} & & & & \\\hline
\end{tabular}\]
\vspd
\item
\begin{minipage}[t]{10cm}
Sur une feuille de calcul d'un tableur,
entrer dans la colonne
$A$, les valeurs de $k$ (de $0$ à $4$).
\vspd
Dans la colonne $B$, faire calculer au tableur les probabilités
données par la loi binomiale $\mathcal{B}(4;0,4)$.
\emph{(chercher la loi binomiale dans les fonctions du tableur: }
\verb+fonctions+$\to$\verb+statistiques+\dots).
\end{minipage}\hfill%\hspace{0.3cm}
\begin{minipage}[t]{6cm}\vspace*{-0.3cm}
\,\includegraphics[width=60mm]{Tableur_Exemple_Loi_Binomiale}
\end{minipage}
\vspd
\item Compléter le tableau suivant à l'aide du tableur:
\[
\begin{tabular}{|c|*5{p{2cm}|}}\hline
\rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
$k$ & \ct{0} & \ct{1} & \ct{2} & \ct{3} & \ct{4} \\\hline
\rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
$P(X\leqslant k)$ & \ct{} & & & & \\\hline
\rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
$P(X\geqslant k)$ & \ct{} & & & & \\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\section{Simulation d'un intervalle de fluctuation avec un tableur}
\bgen
\item Simuler $n=50$ tirages aléatoires d'une pièce de monnaie bien
équilibrée.
Calculer le pourcentage $p$ de "Pile" obtenu.
\item En relançant les calculs de nombreuses fois (touche F9),
quelles sont les plus petites et plus grandes valeurs que l'on puisse
obtenir pour ce pourcentage.
\vspq
Ecrire ces résultats sous forme d'un intervalle:
$p\in\ \Large{\Bigl[ \qquad\qquad;\qquad\qquad\Bigr]}$.
\enen
\section{Détermination de l'intervalle de fluctuation à 95\,\% à
l'aide d'un tableur}
On effectue $n=50$ lancers d'une pièce bien équilibrée.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de "Pile" obtenus.
\bgen
\item Préciser pourquoi la variable aléatoire $X$ suit la loi
binomiale $\mathcal{B}(50;0,5)$ de paramètres
$n=50$ et $p=0,5$.
\item Sur une feuille de calcul, calculer comme précédemment la loi de
probabilité de la loi binomiale $\mathcal{B}(50;0,5)$
(dans une colonne les valeurs de l'entier $k$, de 0 à 50, et dans
une autre colonne les valeurs des probabilités $P(X=k)$).
\item Déterminer la probabilité de l'événement:\quad
$P(X\leqslant 20)$.
Expliciter ce résultat par une phrase.
\item Déterminer le plus petit nombre entier $k$ tel que:
\quad $P(X\leqslant k)=0,99$.
Expliciter ce résultat par une phrase.
\item Le nombre moyen de "Pile" attendu, ou \ul{esperé}, est de
$m=n p=25$.
Déterminer le plus petit nombre entier $r$ tel que:
\[
P\Bigl( 25-r\leqslant X \leqslant 25+r\Bigr) \geqslant 0,95
\]
Expliciter ce résultat par une phrase.
\enen
\vspace{0.6cm}
\section{Influence d'une usine à proximité}
Une usine chimique est venue s'implanter près d'une ville il y a 3
ans.
Pendant ces 3 ans sont nés dans cette ville 132 enfants dont
"seulement" 52 garçons.
\vspd
\noindent
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de garçons qui sont
nés dans un échantillon de 132 enfants.
\bgen
\item Combien de garçons s'attend-on à avoir dans un échantillon de 132
enfants ?
L'écart entre ce nombre attendu et le nombre effectif comptabilisé
semble-t-il important ?
Au point de mettre l'usine chimique en cause ?
\item Préciser pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi
binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Dresser le tableau, sur le tableur, donnant les probabilités
$P(X=k)$, pour $0\leqslant k\leqslant 132$.
\item
Déterminer le plus petit nombre entier $r$ tel que:
\[
P\Bigl( 66-r\leqslant X \leqslant 66+r\Bigr) \geqslant 0,95
\]
Expliciter ce résultat par une phrase.
\item D'après le résultat précédent, l'événement $(X=52)$ est-il
probable?
Que peut-on en conclure ?
\enen
\vspd
\end{document}
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