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Type: TP
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Description
TP sur tableur en 1ère S - Loi binomiale et fluctuation d'échantillonnage
Niveau
Première S
Table des matières
  • Utilisation de la loi binomiale avec un tableur
  • Simulation d'un intervalle de fluctuation avec un tableur
  • Détermination de l'intervalle de fluctuation à 95%
  • Exemple de prise de décision: effet néfaste ou non d'une usine chimique dans une ville
Mots clé
TP, tableur, probabilité, loi binomiale, échantillonnage, fluctuation d'échantillonnage, répétition d'expériences aléatoires, TP de mathématiques, maths, première, 1ère, S
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Simulation et calcul de probabilités},
    pdftitle={Simulation et calcul de probabilités},
    pdfkeywords={Mathématiques, première, 1èreS, probabilité,
      probabilités, tableur, échantillonnage, 
      fluctuation d'échantillonnage} 
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\ProgIndent}{\hspace*{0.5cm}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ul{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Prop.}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ul{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
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\nwc{\TITLE}{Loi binomiale et fluctuation d'échantillonnage}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^\text{ère}$ S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\graphicspath{{Intro_Simulation_FIG/}}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$

%\hfill{\bf \Large{}}
%\hfill$1^{\mbox{\text{ère}}}S$


\section{Utilisation de la loi binomiale avec un tableur} 

On considère la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ 
de paramètres $n=4$ et $p=0,3$. 

\vspd
\bgen
\item Rappeler la formule: pour une variable aléatoire $X$ suivant la 
  loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$, 
   \[ \hspace{-6cm}P(X=k)= \ \dots \]
\item Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$: 
  \[
  \begin{tabular}{|c|*5{p{2cm}|}}\hline
    \rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
    $k$ & \ct{0} & \ct{1} & \ct{2} & \ct{3} & \ct{4} \\\hline
    \rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
    $P(X=k)$ & \ct{} & & & & \\\hline
  \end{tabular}\]
  
  \vspd
\item 
  \begin{minipage}[t]{10cm}
  Sur une feuille de calcul d'un tableur, 
  entrer dans la colonne
  $A$, les valeurs de $k$ (de $0$ à $4$). 

  \vspd
  Dans la colonne $B$, faire calculer au tableur les probabilités
  données par la loi binomiale $\mathcal{B}(4;0,4)$. 

  \emph{(chercher la loi binomiale dans les fonctions du tableur: }
  \verb+fonctions+$\to$\verb+statistiques+\dots). 
  \end{minipage}\hfill%\hspace{0.3cm}
  \begin{minipage}[t]{6cm}\vspace*{-0.3cm}
    \,\includegraphics[width=60mm]{Tableur_Exemple_Loi_Binomiale}
  \end{minipage}

\vspd
\item Compléter le tableau suivant à l'aide du tableur: 
  \[
  \begin{tabular}{|c|*5{p{2cm}|}}\hline
    \rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
    $k$ & \ct{0} & \ct{1} & \ct{2} & \ct{3} & \ct{4} \\\hline
    \rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
    $P(X\leqslant k)$ & \ct{} & & & & \\\hline
    \rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
    $P(X\geqslant k)$ & \ct{} & & & & \\\hline
  \end{tabular}\]
\enen

\section{Simulation d'un intervalle de fluctuation avec un tableur}

\bgen
\item Simuler $n=50$ tirages aléatoires d'une pièce de monnaie bien
  équilibrée. 

  Calculer le pourcentage $p$ de "Pile" obtenu. 

\item En relançant les calculs de nombreuses fois (touche F9), 
  quelles sont les plus petites et plus grandes valeurs que l'on puisse
  obtenir pour ce pourcentage. 
  
  \vspq
  Ecrire ces résultats sous forme d'un intervalle: 
  $p\in\ \Large{\Bigl[ \qquad\qquad;\qquad\qquad\Bigr]}$.

\enen


\section{Détermination de l'intervalle de fluctuation à 95\,\% à
  l'aide d'un tableur}

On effectue $n=50$ lancers d'une pièce bien équilibrée. 

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de "Pile" obtenus. 

\bgen
\item Préciser pourquoi la variable aléatoire $X$ suit la loi
  binomiale $\mathcal{B}(50;0,5)$ de paramètres 
  $n=50$ et $p=0,5$. 

\item Sur une feuille de calcul, calculer comme précédemment la loi de 
  probabilité de la loi binomiale $\mathcal{B}(50;0,5)$ 
  (dans une colonne les valeurs de l'entier $k$, de 0 à 50, et dans
  une autre colonne les valeurs des probabilités $P(X=k)$). 

\item Déterminer la probabilité de l'événement:\quad
  $P(X\leqslant 20)$. 

  Expliciter ce résultat par une phrase. 

\item Déterminer le plus petit nombre entier $k$ tel que: 
  \quad $P(X\leqslant k)=0,99$.

  Expliciter ce résultat par une phrase. 

\item Le nombre moyen de "Pile" attendu, ou \ul{esperé}, est de 
  $m=n p=25$. 

  Déterminer le plus petit nombre entier $r$ tel que: 
  \[
  P\Bigl( 25-r\leqslant X \leqslant 25+r\Bigr) \geqslant 0,95
  \]
  Expliciter ce résultat par une phrase. 

\enen


\vspace{0.6cm}
\section{Influence d'une usine à proximité}

Une usine chimique est venue s'implanter près d'une ville il y a 3
ans. 
Pendant ces 3 ans sont nés dans cette ville 132 enfants dont 
"seulement" 52 garçons. 

\vspd
\noindent
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de garçons qui sont
nés dans un échantillon de 132 enfants. 

\bgen
\item Combien de garçons s'attend-on à avoir dans un échantillon de 132
  enfants ?

  L'écart entre ce nombre attendu et le nombre effectif comptabilisé
  semble-t-il important ? 
  Au point de mettre l'usine chimique en cause ? 

\item Préciser pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi
  binomiale dont on donnera les paramètres. 

\item Dresser le tableau, sur le tableur, donnant les probabilités 
  $P(X=k)$, pour $0\leqslant k\leqslant 132$. 

\item 
  Déterminer le plus petit nombre entier $r$ tel que: 
  \[
  P\Bigl( 66-r\leqslant X \leqslant 66+r\Bigr) \geqslant 0,95
  \]
  Expliciter ce résultat par une phrase. 

\item D'après le résultat précédent, l'événement $(X=52)$ est-il
  probable? 

  Que peut-on en conclure ? 
\enen


\vspd





\end{document}

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