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Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir maison de mathématiques, première S: second degré et problème y menant
Niveau
Première S
Mots clé
angle orientés de vecteurs, angle inscrit, maximisation d'un angle, devoir de mathématiques, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}

\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\evensidemargin=0cm


\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-3cm}

%\ul{Nom:}
\hspace{5cm} 
{\Large Devoir  la maison}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{re}}}\,$S%3/10/2008
\vspace{0.2cm}


\bgex 

\vspace*{-1cm}
\parbox[t]{11cm}{
  Le but de cet exercice est de trouver gomtriquement la position du
  point $M$ sur la demi-droite $d$ perpendiculaire  $(AB)$ passant
  par $H$, de faon  ce que l'angle $\widehat{AMB}$ soit maximal. 

  \vspd
  On note $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle $MAB$, et
  $\Omega$ son centre. 
}
\parbox{6cm}{\vspace*{-1cm}
  \psset{unit=2cm}
  \begin{pspicture}(-0.5,0.5)(2.5,2.5)
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0,0)(2.5,0)\put(2.3,-0.2){$d$}
    \psline[linewidth=0.5pt](0,-0.6)(0,2.2)
    \psdots[dotstyle=*](0,0)(0,1)(0,1.4)(1.5,0)
    \put(-0.25,0.0){$H$}
    \put(-0.25,1){$B$}
    \put(-0.25,1.4){$A$}
    \put(1.5,-0.2){$M$}
    \psline[linewidth=0.5pt](1.5,0)(0,1.4)
    \psline[linewidth=0.5pt](1.5,0)(0,1)
    
    \psline[linewidth=0.3pt](0,0.15)(0.15,0.15)
    \psline[linewidth=0.3pt](0.15,0.15)(0.15,0)
  \end{pspicture}
  }


  \vspace*{1cm}
  \bgit

  \item[1)]{\bf Thorme de l'angle au centre.}

    On considre un cercle de centre $O$, sur lequel sont situs trois
    points $A$, $B$ et $M$. 

    On souhaite dmontrer le thorme de l'angle au centre: 

    {\it ``dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un
      angle inscrit interceptant le mme arc.''} 

    \vspd
    \bgit
    \item[a)] Montrer que
      $\lp\V{OA};\V{OM}\rp=\pi-2\lp\V{MO};\V{MA}\rp$, et que, de mme, 
      $\lp\V{OM};\V{OB}\rp=\pi-2\lp\V{MB};\V{MO}\rp$.
      \vspd
    \item[b)] Exprimer alors l'angle au centre $\lp\V{OA};\V{OB}\rp$
      en fonction de l'angle inscrit $\lp\V{MA};\V{MB}\rp$.
      
      Conclure.

    \enit


  \item[1)] Prouver que $\Omega$ est sur $\Delta$ mdiatrice de
    $[AB]$, et que 
    $\Omega A\geq a$, o $a$ est la distance entre
    $\Delta$ et $d$. 

    \vspt
    \item[2)] Dmontrer que : 
      $\dsp\sin(\widehat{AMB}) = \frac{AB}{2\,\Omega A}$.
      
      \vsp
      En dduire que $\widehat{AMB}$ est maximal lorsque $\Omega A=a$.

      \vspt
    \item[3)] Construire sur une figure le point $\Omega_0$
      correspondant, puis le point $M_0$ solution. 

      \vspt
    \item[4)] Calculer une mesure,  $0,1^{\circ}$ prs, de l'angle 
      $\widehat{AM_0B}$, et de la distance $M_0H$  10 cm prs.
  \enit

\vspq
{\it Remarque: Cette situation se prsente lors de la transformation
d'un essai au rugby. $A$ et $B$ sont les poteaux, et le tireur a
tout intrt  tre dans une position avec un angle de tir le plus grand
possible. }


\enex

\end{document}

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