Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1.7cm}
%\ul{Nom:}
\hspace{5cm}
{\Large Devoir � la maison}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$S%3/10/2008
\vspace{0.2cm}
\bgex
La r�gle d'un jeu pr�voit que le joueur gagnant du jeu re�oive de la
part de chacun des autres joueurs un nombre d'euros �gal au nombre
total de joueurs.
\vspd
Au cours d'une partie, le gagnant a re�u 20 euros.
Combien y-avait-il de joueurs ?
\enex
\vspq
\bgex
\vspace{-2.4cm}
\bgmp{9cm}
On donne la figure ci-contre, dans laquelle:
$AD=1$, $\dsp EB=\frac{1}{2}$, et $EC=1$.
\vspd
On cherche � d�terminer la longueur $a=DC$.
\enmp%\vspace*{-1.4cm}%\hspace{-0.5cm}
\bgmp[b]{12cm}
\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(8,2)
%\multido{\n=0+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,2)}
%\multido{\n=0+0.5}{5}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dotted](0,\n)(8,\n)}
%\psplot{-0.5}{6.5}{x x mul x mul -2 mul x x mul 15 mul add x 24 mul sub -2 add}%\psplot{0}{8}{x x mul 2.71828 -1 x mul 1 add exp mul}
%\psplot{0}{2.2}{-1 x mul 2 add}
%\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(5,0)
%\put(2.4,-0.4){$a$}
\def\AB{2.0874}
\def\BC{0.8660}%~sqrt(3)/2
\def\DF{0.3832}
\psline[linewidth=1pt](0,0)(\AB,0.8660)
\psline[linewidth=1pt](\AB,0)(\AB,0.8660)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(\AB,0)
\psline[linewidth=1pt](1.5874,0)(\AB,\BC)
\psline[linewidth=1pt](1.5874,0)(.925,\DF)
\psline[linewidth=0.5pt](2.02,0)(2.02,0.06)
\psline[linewidth=0.5pt](2.02,0.06)(\AB,0.06)
\psline[linewidth=0.5pt](1.54,0.03)(1.561,0.07)
\psline[linewidth=0.5pt](1.561,0.07)(1.61,0.043)
\put(-.5,-.2){$A$}
\put(8.5,-.2){$B$}
\put(8.5,3.4){$C$}
\put(3.2,1.6){$D$}
\put(6,-.4){$E$}
\put(1.8,1.){$1$}
\put(5.8,2.6){$a$}
\put(7.3,-.6){$\dsp\frac{1}{2}$}
\put(7,1.6){$1$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{0.2cm}
\bgit
\item[1)] On consid�re la polyn�me $P(x)=x^4+2x^3-2x-4$.
Calculer $P(-2)$. En d�duire une factorisation de $P$, puis
l'ensemble des racines du polyn�me.
\vspd
\item[2)]
\bgit
\item[a)] D�terminer la longueur $BC$.
\vspd
\item[b)] On note $F$ le projet� orthogonal de $D$ sur la droite
$(AB)$ (i.e. $F$ est sur la droite $(AB)$ et $(DF)\perp(AB)$).
\vspd
Exprimer l'angle $\widehat{DEF}$ en fonction de l'angle
$\widehat{BEC}$.
D�terminer une relation entre les longueurs $DF$ et $DE$, et
exprimer alors la longueur $DF$ en fonction de $a$.
\vspd
\item[c)] D�terminer une relation reliant $DF$, $BC$ et $a$.
En d�duire l'�quation v�rifi�e par $a$, puis la valeur de~$a$.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex
\bgmp{10.cm}
On rappelle la loi de la r�flexion de la lumi�re
(loi de Snell-Descartes):
\vspd
Un rayon lumineux se r�fl�chit sur un miroir plan sym�triquement � la
normale au point d'incidence.
\enmp\hspace{2cm}
\bgmp{8cm}\vspace{-0.6cm}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(8,2)
%\multido{\n=0+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,2)}
%\multido{\n=0+0.5}{5}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dotted](0,\n)(8,\n)}
%\psplot{-0.5}{6.5}{x x mul x mul -2 mul x x mul 15 mul add x 24 mul sub -2 add}%\psplot{0}{8}{x x mul 2.71828 -1 x mul 1 add exp mul}
%\psplot{0}{2.2}{-1 x mul 2 add}
%\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(5,0)
%\put(2.4,-0.4){$a$}
\psline[linewidth=0.8pt](-0.1,0)(3.1,0)
\psline[linewidth=0.4pt](0,0)(-0.1,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](0.3,0)(0.2,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](0.6,0)(0.5,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](0.9,0)(0.8,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](1.2,0)(1.1,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](1.5,0)(1.4,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](1.8,0)(1.7,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](2.1,0)(2.,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](2.4,0)(2.3,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](2.7,0)(2.6,-0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](3.,0)(2.9,-0.2)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(0,3)(0.5,2)
\psline[linewidth=1.pt]{-}(0.5,2)(1.5,0)
\psarc(1.5,0){0.5}{120}{180}
\psline[linewidth=1.pt]{->}(1.5,0)(2.5,2)
\psline[linewidth=1.pt]{-}(2.5,2)(3,3)
\psarc(1.5,0){0.5}{0}{60}
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dotted]{-}(1.5,0)(1.5,3)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(1.5,2.4)(1.5,3.2)
\put(1.7,2.6){$\vec{n}$}
\put(0.9,3.4){normale}
\put(-1.,0.2){mirroir}
\put(-0.8,2){Rayon}\put(-0.8,1.5){incident}
\put(4,2){Rayon}\put(4,1.5){r�fl�chi}
\end{pspicture}
\enmp
\vspq
L'objectif de l'exercice est d'�tudier l'angle orient� entre le rayon
incident, provenant d'une source~$S$, et le rayon r�fl�chi, vers un
observateur $R$, lors de la r�flexion sur un mirroir
``� deux pans''.
\vspd
Plus pr�cis�ment, on cherche � exprimer l'angle $(\V{SI},\V{JR})$
appel� angle de la d�viation. \vsp
\bgmp{10cm}
\bgit
\item[1)] Montrer que $(\V{IS},\V{IJ})=\pi-2i$.
\vsp
\item[2)] Montrer la relation $(\V{JI},\V{JR})=\pi-2(\V{JO},\V{JI})$,
puis la relation $(\V{JO},\V{JI})=\pi-m-i$.
\vsp
\item[3)] D�duire de ce qui pr�c�de une mesure de l'angle de la
d�viation.
Cet angle d�pend-il de l'angle d'incidence ?
\vspd
\item[4)] {\bf Application.} \vsp
\bgit
\item[a)] Dans le cas d'un miroir � deux pans\\ perpendiculaires, quel
est l'angle\\ de la d�viation ?
Repr�senter cette situation sur une figure.
\vsp
\item[b)] Quel est l'angle de la d�viation dans le cas d'un
\mbox{miroir �
deux pans o� $\dsp m=\frac{3\pi}{4}$ ?
Repr�senter cette situation sur une figure. }
\enit
\enit
\enmp\hspace{-1cm}
\bgmp[t]{6cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,2)
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,1.5)\put(-0.5,0.){$A$}
\psline[linewidth=0.8pt](3,1.5)(6,0.8)\put(8.6,1){$B$}
\psline[linewidth=0.4pt](0.,0.3)(0,0)
\psline[linewidth=0.4pt](0.4,0.5)(0.4,0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](0.8,0.7)(0.8,0.4)
\psline[linewidth=0.4pt](1.2,0.9)(1.2,0.6)
%\psline[linewidth=0.4pt](1.6,1.1)(1.6,0.8)
\psline[linewidth=0.4pt](2.0,1.3)(2.0,1.0)
\psline[linewidth=0.4pt](2.4,1.5)(2.4,1.2)
\psline[linewidth=0.4pt](2.8,1.7)(2.8,1.4)
\psline[linewidth=0.4pt](3.2,1.75)(3.2,1.45)
\psline[linewidth=0.4pt](3.6,1.67)(3.6,1.37)
\psline[linewidth=0.4pt](4.0,1.58)(4.0,1.28)
%\psline[linewidth=0.4pt](4.4,1.48)(4.4,1.18)
\psline[linewidth=0.4pt](4.8,1.38)(4.8,1.08)
\psline[linewidth=0.4pt](5.2,1.28)(5.2,0.98)
\psline[linewidth=0.4pt](5.6,1.19)(5.6,0.89)
\psline[linewidth=0.4pt](6.0,1.09)(6.0,0.79)
\psline[linewidth=0.8pt](0.4,-1)(1.7,.85)
\psline[linewidth=1.0pt]{->}(0.4,-1)(1.,-0.14)
\psline[linewidth=0.8pt](1.7,0.85)(4.5,1.15)\put(2.2,1.35){$I$}
\psline[linewidth=0.8pt](4.5,1.15)(6.5,-0.2)\put(6.1,1.8){$J$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(5.5,0.48)(6.5,-0.2)
\psarc(1.7,0.85){1}{208}{235}\put(1.3,0.2){$i$}
\psarc(3,1.5){0.4}{208}{345}\put(4.2,1.5){$m$}
\put(4,2.3){$O$}\put(0.2,-1.2){$S$}\put(8.8,0.1){R}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](1.7,0.85)(2.9,-0.8)
\psline[linewidth=1pt]{->}(2.4,-0.11)(2.9,-0.8)
\put(3,-.8){$\vec{n_1}$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](4.48,1.15)(4.15,-0.8)
\psline[linewidth=1pt]{->}(4.28,0)(4.15,-0.8)
\put(6,-.8){$\vec{n_2}$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\end{document}
Télécharger le fichier source 
