Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=27.2cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\topmargin=-2.2cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
%\vspace*{-1.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Correction du devoir de math�matiques}}
\bgex
\bgit
\item[1)] Pour tout point $M$ du plan,
$-\V{MA}+4\V{MB}=3\V{MI}$, soit, en choisissant $M=A$,
\ul{$\dsp \V{AI}=\frac{4}{3}\V{AB}$}.
\vsp
\item[2)] Pour tout point $M$ du plan,
$2\V{MC}+\V{MD}=3\V{MJ}$, soit, en choisissant $M=C$,
\ul{$\dsp \V{CJ}=\frac{1}{3}\V{CD}$}.
\bgmp{11.5cm}
\item[3)] Par associativit�, $G$ est le barycentre de
$\la (I;3), (J;3)\ra$, donc $G$ est l'isobarycentre de $I$ et $J$,
ou encore $G$ est le milieu de $[IJ]$.
\vspd
\item[4)] Pour tout point $M$ du plan,
$-\V{MA}+4\V{MB}=3\V{MI}$,
et $2\V{MC}+\V{MD}=3\V{MJ}$.
Ainsi,
$\| -\V{MA}+4\V{MB}\|=\| 2\V{MC}+\V{MD}\|
\Longleftrightarrow \| 3\V{MI}\|=\| 3\V{MJ}\|$
$\Longleftrightarrow MI=MJ$.
\ul{L'ensemble $\Delta$ est donc la m�diatrice de $[IJ]$.}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(6,4.5)
\rput(0,0){$\tm$}\rput(-0.4,0){$A$}
\rput(3,3){$\tm$}\rput(2.6,3){$B$}
\rput(4,4){$\tm$}\rput(3.6,4){$I$}
\rput(4,1){$\tm$}\rput(4.3,1){$C$}
\rput(6,3){$\tm$}\rput(6.3,3){$D$}
\rput(4.6666,1.6666){$\tm$}\rput(5,1.6666){$J$}
\rput(4.3333,2.83333){$\tm$}\rput(4.65,2.83333){$G$}
\pspolygon[linewidth=0.8pt](4,1)(0,0)(3,3)(6,3)
\psline[linewidth=0.8pt](4,4)(4.6666,1.6666)
\psline[linewidth=0.8pt](3,3)(4,4)
\end{pspicture}
\enmp
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)] Si le point $M$ est sur la droite $(AB)$, alors les vecteurs
$\V{MA}$ et $\V{MB}$ sont colin�aires,
et donc $MB=2MA$ pour $\V{MB}=2\V{MA}$ ou $\V{MB}=-2\V{MA}$.
Il y a donc deux possibilit�s:
$\V{RB}=2\V{RA}$, soit $\V{RB}-2\V{RA}=\V{0}$,
et $R$ est le barycentre de $(A;-2)$ et $(B;1)$,
ou
$\V{SB}=-2\V{SA}$, soit $\V{SB}+2\V{SA}=\V{0}$,
et $S$ est le barycentre de $(A;2)$ et $(B;1)$.
\vspd
\item[2)] Pour tout point $M$,
$MB=2MA
\Longleftrightarrow MB^2=4MA^2
\Longleftrightarrow \V{MB}^2=4\V{MA}^2
\Longleftrightarrow \V{MB}^2-4\V{MA}^2=0\\
\Longleftrightarrow \lp\V{MB}-2\V{MA}\rp\cdot\lp\V{MB}+2\V{MA}\rp=0
$
\vspace{-0.1cm}
\item[3)] Comme $S$ est le barycentre de $(A;2)$ et $(B;1)$,
\ul{pour tout point $M$, $\V{MB}+2\V{MA}=3\V{MS}$};
et de m�me,
\ul{pour tout point $M$, $\V{MB}-2\V{MA}=-\V{MR}$}.
\vspd
Ainsi, $MB=2MA\Longleftrightarrow
\lp\V{MB}-2\V{MA}\rp\cdot\lp\V{MB}+2\V{MA}\rp=0
\Longleftrightarrow -\V{MR}\cdot\lp 3\V{MS}\rp=0
\Longleftrightarrow \V{MR}\cdot \V{MS}=0
$.
On en d�duit donc que les vecteurs $\V{MR}$ et $\V{MS}$ sont
orthogonaux, et donc que l'ensemble $\mathcal{T}$ des points $M$
recherch�s est le cercle de diam�tre $[RS]$.
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)] On a $\V{DA}+\V{DC}=\V{DB}$, soit
$\V{DA}+\V{DB}-\V{DC}=\V{0}$:
\ul{$D$ est le barycentre de $(A;1)$, $(B;-1)$ et $(C;1)$}.
\item[2)] Pour tout point $M$ du plan, on a
$\V{MA} + \V{MC}=2\V{MI}$ et
$\V{MA} - \V{MB} +\V{MC}=\V{MD}$, et donc
$\|\V{MA} + \V{MC}\| = 2 \| \V{MA} - \V{MB} +\V{MC} \|
\Longleftrightarrow 2MI=2MD
\Longleftrightarrow MI=MD$.
On en d�duit donc que l'ensemble E est la m�diatrice de la droite
$(ID)$.
\vspd
\item[3)] Pour tout point $M$ du plan,
$\bgar{ll}
MA^2 - MB^2 + MC^2
&= \V{MA}^2 - \V{MB}^2 + \V{MC}^2 \\
&= \lp\V{MD}+\V{DA}\rp^2 - \lp\V{MD}+\V{DB}\rp^2 + \lp\V{MD}+\V{DC}\rp^2\\
&=MD^2+2\V{MD}\cdot\lp\underbrace{\V{DA}-\V{DB}+\V{DC}}\rp^2+DA^2-DB^2+DC^2\\
&\hspace{4.4cm}=\V{0}
\enar$
d'o�,
$MA^2 - MB^2 + MC^2 = BD^2
\Longleftrightarrow
MD^2=BD^2-DA^2+DB^2-DC^2$:
\ul{l'ensemble F est le cercle de centre $D$ et de rayon
$BD^2-DA^2+DB^2-DC^2$}.
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)] L'ensemble de d�finition de $f$ est
$\mathcal{D}_f=\R\setminus\la2\ra$.
$f$ est une fonction rationnelle, et donc,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2x}
=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{2}=-\infty$,
et de m�me,
$\dsp
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty$.
$\dsp \lim_{x\to2}x^2=4$ et
$\dsp\lim_{x\to2^-}(2x-4)=0^-$, d'o�,
$\dsp\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$.
De m�me, $\dsp\lim_{x\to2^+}(2x-4)=0^+$,
d'o�, $\dsp\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$.
On en d�duit que \ul{la droite d'�quation $x=2$ est asymptote verticale
� $\mathcal{C}_f$}.
\vspd
\bgmp{9cm}
\item[2)] $f$ est le quotient des fonctions $x\mapsto x^2$ et
\mbox{$x\mapsto 2x-4$} qui sont d�rivables sur $\R$.
De plus $2x-4=0\Longleftrightarrow x=2$, et donc, on en d�duit que
la fonction $f$ est d�rivable sur $\R\setminus\la2\ra$.
\vsp
Pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$,
$\bgar{ll}
\dsp f'(x)&=\dsp\frac{2x(2x-4)-x^2\tm2}{(2x-4)^2}\\
&\dsp=\frac{2x^2-8x}{(2x-4)^2}
=2x\frac{x-4}{(2x-4)^2}
\enar$
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{6cm}
%\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\begin{tabular}{|c|*{8}{p{0.25cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $0$ && $2$ && $4$ && $+\infty$ \\\hline
$2x$& &$-$ &\zb& $+$ &$|$ &$+$&$|$&$+$&\\\hline
$x-4$& &$-$ &$|$& $-$ &$|$& $-$& \zb & $+$ &\\\hline
$(2x-4)^2$& &$+$&$|$&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&\zb&$-$&\db&$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$0$&&&&&&$+\infty$\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}
&\psline[linewidth=0.6pt](0,0.75)(0,-0.5)
\psline[linewidth=0.6pt](0.1,0.75)(0.1,-0.5)
&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$-\infty$&&&&&&$4$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd
\item[3)] Pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$,
$\dsp f(x)=\frac{1}{2}x+1+\frac{4}{2x-4}$
\vsp
\item[4)] D'apr�s la question pr�c�dente, on a,
$\dsp f(x)-\lp\frac{1}{2}x+1\rp=\frac{4}{2x-4}$
et donc,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\lb f(x)-\lp\frac{1}{2}x+1\rp\rb
=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{2x}=0$,
ainsi que
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\lb f(x)-\lp\frac{1}{2}x+1\rp\rb=0$.
On en d�duit que
\ul{$\Delta$ est asymptote oblique � $\mathcal{C}_f$ en
$-\infty$ et en $+\infty$}.
\vspd
\item[5)]
Les �quations des tangentes sont:
en $x=1$,
$\dsp (T_1): y=f'(1)(x-1)+f(1)=-\frac{3}{2}(x-1)-\frac{1}{2}
=-\frac{3}{2}x+1$.
Soit \ul{$(T_1):y=-\frac{3}{2}x+1$}.
\vspd
en $x=3$,
$\dsp (T_2): y=f'(3)(x-3)+f(3)=-\frac{3}{2}(x-3)+\frac{9}{2}
=-\frac{3}{2}x+9$.
Soit \ul{$(T_2):y=-\frac{3}{2}x+9$}.
\item[6)]\ \\\vspace{-0.7cm}
\hspace{-1cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-8.5)(9,10.5)
\psline[linewidth=0.7pt]{->}(-5.5,0)(9.5,0)
\psline[linewidth=0.7pt]{->}(0,-8.5)(0,10.5)
\multido{\i=-8+1}{19}{
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-5,\i)(9,\i)
\rput(-0.4,\i){\i}
}
\multido{\i=-5+1}{15}{
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\i,-8)(\i,10)
\rput(\i,-0.4){\i}
}
\psplot[linewidth=1.6pt]{-5}{1.8}{
x x mul
2 x mul -4 add
div
}
\psplot[linewidth=1.6pt]{2.25}{9}{
x x mul
2 x mul -4 add
div
}
\psplot[linewidth=1pt]{-5}{9}{x 2 div 1 add}
\psline[linewidth=1.4pt](2,-8.1)(2,10.1)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-1.5,0)(1.5,0)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(2.5,4)(5.5,4)
\rput(7.5,4.3){$(\Delta)$}
\psplot[linewidth=1pt]{-5}{6}{-1.5 x mul 1 add}
\rput(-2.5,5.5){$(T_1)$}
\psplot[linewidth=1pt]{-0.5}{9}{-1.5 x mul 9 add}
\rput(7.5,-3.5){$(T_2)$}
\end{pspicture}
\enmp\hspace{1cm}
\bgmp{9.1cm}
\item[7)]
\ul{Graphiquement}, pour $m\in]-\infty;0[\cup]4;+\infty$, l'�quation
$f(x)=m$ admet deux solutions;
pour $m=0$ et $m=4$ l'�quation admet une unique solution,
tandis que pour $m\in]0;4[$ elle n'admet aucune solution.
\vspq
\ul{Alg�briquement}, pour $x\not= 2$,
$\dsp f(x)=m
\Longleftrightarrow \frac{x^2}{2x-4}=m
\Longleftrightarrow x^2-2mx+4m=0$
\vspd
Cette �quation du second degr� admet pour discriminant
$\Delta= 4m^2-16m=4m(m-4)$.
$\Delta$ est un trin�me du second degr� qui admet $m=0$ et $m=4$
comme racines, et donc,
si $m\in]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$, $\Delta>0$ et l'�quation
$f(x)=m$ admet deux solutions r�elles distinctes;
si $m\in]0;4[$, $\Delta<0$ et l'�quation $f(x)=m$ n'admet
aucune solution, tandis que si $m=0$ ou $m=4$, on a
$\Delta=0$, et donc l'�quation $f(x)=m$ admet une unique
solution.
\enmp
\enit
\enex
\end{document}
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