Source Latex
de la correction du devoir
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\usepackage{array}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1cm}
%\ul{Nom:}
\hspace{5cm}
{\Large Correction du devoir � la maison}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$S%3/10/2008
\vspace{0.8cm}
\bgex
1)\vspace{-0.7cm}
\[\bgar{ll}\mbox{Pour tout } x>2, \ \
\dsp x-1-\frac{2}{x-2} &=\dsp \frac{(x-1)(x-2)}{x-2}-\frac{2}{x-2} \\
&=\dsp \frac{(x-1)(x-2)-2}{x-2} \\
&=\dsp \frac{x^2-3x}{x-2} = f(x)
\enar\]
Ainsi, pour tout r�el $x>2$, $\dsp f(x)=x-1-\frac{2}{x-2}$
\vspd
2) On peut �crire $f$ sous la forme $f=f_1-2f_2$, avec
$f_1(x)=x-1$ et $\dsp f_2(x)=\frac{1}{x-2}$.
\bgit
\item $f_1$ est une fonction affine croissante sur $\R$.
\item On peut d�composer $f_2$ sous la forme:
$f_2=u\circ v$\ avec $u(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=x-2$.
$u$ est d�croissante, tandis que $v$ est croissante;
on en d�duit que $f_2$ est d�croissante, et donc que la fonction
$-2f_2$ est croissante.
On en d�duit finalement que $f=f_1+(-2f_2)$ est croissante sur
$]2;+\infty[$.
\enit
\enex
\vspq
\bgex
\bgit
\item[1)] La droite $(M'M)$ est perpendiculaire � la droite
$(\mathcal{D})$ qui est elle-m�me perpendiculaire � l'axe des
abscisses $(Ox)$. On en d�duit que $(M'M)$ est parall�le � l'axe des
abscisses, et donc que les points $M'$, $H$ et $M$ ont la m�me
ordonn�e $y$.
\vspd
De plus les vecteurs $\V{HM}(x-a;0)$ et $\V{M'H}(a-x';0)$ sont
�gaux, d'o� la relation $x-a=a-x'$,
c'est-�-dire $x'=2a-x$.
\vspd
Finalement, le point $M$ a pour coordonn�es $M(2a-x;y)$.
\vspd
\item[2)] Soit $x$ dans l'ensemble de d�finition de $f$.
Le point $M(x;f(x))$ est un point de la courbe repr�sentative
$\mathcal{C}_f$ de $f$.
\vspd
D'apr�s la question pr�c�dente,
Le sym�trique de $M$ par la sym�trie d'axe $(\mathcal{D}):x=a$
est le point $M'(2a-x;f(x))$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc sym�trique par rapport � la
droite $(\mathcal{D})$ si $M'$ est sur $\mathcal{C}_f$, c'est-�-dire
si $2a-x$ est aussi dans l'ensemble de d�finition de $f$, et que
$f(x)=f(2a-x)$.
\vspd
\item[3)] $f$ est une fonction polyn�me, donc d�finie sur $\R$.
\[\bgar{ll}
\multicolumn{2}{l}{\dsp
\mbox{Pour tout } x\in\R, 2a-x=2\tm\frac{5}{6}-x \in \R \ ,\ \mbox{ et}
}\\
\dsp f(2\tm\frac{5}{6}-x)=f(\frac{5}{3}-x)
&\dsp= -3\lp\frac{5}{3}-x\rp^2+5\lp\frac{5}{3}-x\rp-1\vsp \\
&\dsp= -\frac{5^2}{3}+10x-3x^2+\frac{5^2}{3}-5x -1 \vsp\\
&\dsp= -3x^2+5x-1\vsp \\
&\dsp=f(x)
\enar
\]
Ainsi, d'apr�s la question 2), la droite $(\mathcal{D})$ d'�quation
$\dsp x=\frac{5}{6}$\ \ est un axe de
sym�trie de la courbe repr�sentative de~$f$.
\enit
\enex
\end{document}
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