Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=27.2cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-2cm
\topmargin=-2.2cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
%\vspace*{-1.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir de math�matiques}}
\vspq
\bgex{\bf Convergence des suites g�om�triques}
\vsp
On consid�re un entier naturel $n$ et les fonctions
$f:x\mapsto (1+x)^n$ et $g:x\mapsto 1+nx$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer que, pour tout r�el $x\geq 0$,
$f(x)\geq g(x)$.
\vspd
\item[2.] Soit un nombre r�el $q>1$ et $(u_n)$ la suite d�finie par
$u_n=q^n$.
Etudier la limite de la suite $(u_n)$.
\vspd
\item[3.] On consid�re maintenant un nombre $0<q<1$.
En posant $\dsp q=\frac{1}{p}$, d�duire de la question pr�c�dente que
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$
\enit
\enex
\vspd
\bgex {\bf Tour de Hano�}
\vspd
\bgmp{12.4cm}
\paragraph{R�gle du jeu:} Le but du jeu est de d�placer les $n$
disques de la premi�re tour sur la troisi�me tour en respectant les
deux r�gles suivantes:
\vsp
\bgit
\item on ne peut d�placer qu'un seul disque � la fois;
\vsp
\item un disque ne doit jamais �tre plac� sur un disque plus petit
que lui.
\enit
\vspq
On d�signera par $u_n$ le nombre minimal de d�placements n�cessaires
pour r�soudre le probl�me avec $n$ disques.
\vspd
\bgit
\item[1.] V�rifier que $u_1=1$, $u_2=3$ et $u_3=7$.
La suite $(u_n)$ peut-elle �tre arithm�tique ? g�om�trique ?
\enit
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{6cm}
\ct{Tours de Hano� (3 disques)}
\epsfxsize=6cm\epsfysize=2cm
\epsfbox{Hanoi3.eps}
\ct{Tours de Hano� (4 disques)}
\epsfxsize=6cm\epsfysize=2cm
\epsfbox{Hanoi4.eps}
\enmp
\vspd
\bgit
\item[2.] Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$
(Expliquer bri�vement le raisonnement).
\vspd
\item[3.] Calculer $u_4$, $u_5$ et $u_6$.
\vspd
\item[4.] On d�finit la suite $(v_n)$ pour tout entier $n$ par la
relation $v_n=u_n+1$.
Montrer que $(v_n)$ est une suite g�om�trique, puis exprimer
$v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
\vspd
\item[5.] On suppose qu'il faut $5$ secondes pour d�placer un disque.
Combien de temps faut-il pr�voir pour finir ce jeu
avec 30 disques, puis avec 50 disques ?
(utiliser des unit�s de temps adapt�es)
\enit
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_0=0$ et, pour tout naturel $n$,
$\dsp u_{n+1}=\frac{2u_n+2}{u_n+3}$.
On d�finit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par la
relation $\dsp v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}$.
\bgit
\item[1.] Prouver que la suite $(u_n)$ n'est ni arithm�tique, ni
g�om�trique.
\vspd
\item[2.] Montrer que $(v_n)$ est g�om�trique.
Exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
\vspd
\item[3.] Quelle est la limite de $(v_n)$ ?
En d�duire celle de $(u_n)$.
\enit
\enex
\vspd
\bgex
\bgit
\item[1.] On consid�re la suite $(u_n)$ d�finie par la relation,
$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
\vsp
Etudier le sens de variation de $(u_n)$ et sa limite.
\vspd
\item[2.] Soit la suite $(v_n)$ d�finie pour tout entizer $n$ par la
relation:
$\dsp v_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
\vsp
Etudier le sens de variations de $(v_n)$ et d�terminer les limites
$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n$ et
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp u_1+u_2+u_3+\dots+u_n\rp$.
\enit
\enex
\end{document}
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