@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: second degré
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, second degré, trinome du second degré, équation du 2nd degré, signe d'un trinome, inéquation du 2nd degré, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={ROC},
    pdftitle={ROC},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1èreS, 1S, première S, 
      devoir, DS, DM, 
      second degré, 2nd degré, polynome, polynôme, 
    }
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    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}		% default=10pt
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
%{\pagestyle{empty}}%
%{%
%\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
a) $2x^2+5x+2=0$ est un trin\^ome du 2nd degré de discriminant 
$\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines réelles: 
$\mathcal{S}=\la -2\,;\,-\dfrac12\ra$

b) $x^2=7x \iff x^2-7x=0 \iff x(x-7)=0$
  soit $x=0$ ou $x=7.$

c) $-x^2+7x-3=5-2x \iff x^2-9x+8=0$\\ 
  $\Delta=49=7^2>0$, 
  donc l'\'equation admet deux racines r\'eelles distinctes :
  $x_1=8$ et $x_2=1$. 

d) C'est le trin\^ome du a) qui a deux racines $2$ et $-\dfrac12$. 
Ce trin\^ome est donc strictement négatif sur 
$\mathcal{S}=\Bigl]-2;-\dfrac12\Bigr[$. 

%e) On cherche le signe du trin\^ome du d\'enominateur. \\
%Son discriminant est $\Delta=11^2+4\tm2\tm6=169=13^2>0$. 
%
%Le trin\^ome admet donc deux racines r\'eelles distinctes: 
%$x_1=-6$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$. 
%
%On peut alors dresser le tableau de signe de cette fraction: 
%\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
%$x$ & $-\infty$ & &$-6$& &$-\frac{2}{3}$& &$\frac{1}{2}$&&$+\infty$ 
%\\\hline
%$3x+2$&          &-& $|$ &-&      \zb    &+&$|$&+&\\\hline
%$2x^2+11x-6$&   &+& \zb&-&      $|$    &-&\zb&+&\\\hline
%$\frac{3x+2}{2x^2+11x-6}$
%& &-& \db&+& \zb    &-&\db&+& \\\hline
%\end{tabular}
%\]
%On en d\'eduit les solutions de l'in\'equation: 
%$\mathcal{S}=\bigr]-6\,;\,-\dfrac{2}{3}\bigr]
%    \cup\bigr]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\bigl[$

e) 
$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x}\leqslant-2
\iff \dfrac{2x^2+8x+6}{x(x+2)}\leqslant0
\iff \dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}\leqslant0$

Le numérateur est un trin\^ome du second degré de discriminant 
$\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines réelles distinctes 
$x_1=-3$ et $x_2=-1$. On peut alors dresser le tableau de signes: 
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$-3$& &$-2$& &$-1$& &$0$& &$+\infty$ 
\\\hline
$x^2+4x+3$&   &+& \zb&-&      $|$    &-&\zb&+& $|$ &$+$&\\\hline
$x(x+2)$& &+& $|$ &+& \zb &-&$|$&-& \zb & +&\\\hline
$\dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}$
& &+& \zb &-& \db &+&\zb&-& \db & +&\\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi, $\mathcal{S}=[-3;-2[\cup[-1;0[$.
\enex


\bgex
Les points d'intersection sont les points $M(x;y)$ tels que 
$y=f(x)=2x-1$, 
d'où l'équation du second degré $-2x^2+x=2x-1\iff 2x^2+x-1=0$ 
de discriminant $\Delta=9=3^2>0$ et qui admet donc deux solutions réelles 
distinctes $x_1=\dfrac12$ et $x_2=-1$. \\
Il y a donc deux points d'intersection: 
$M_1\lp\dfrac12;0\rp$ et $M_2\lp-1;-3\rp$. 
\enex

\bgex
La courbe repr\'esentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$
coupe l'axe des 
abscisses aux points (s'ils existent) d'abscisse $x$ tels que $f(x)=0$. 

$f$ est une fonction trin\^ome du second degr\'e, de discriminant 
$\Delta=b^2-4ac$. 
Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors, $ac<0$, et donc
$-4ac>0$, d'o\`u, $\Delta=b^2-4ac>b^2>0$ et le trin\^ome $f$ admet deux
racines r\'eelles distinctes $x_1$ et $x_2$. 
En d'autres termes $f(x_1)=f(x_2)=0$, et ainsi $\mathcal{C}_f$ coupe
l'axe des abscisses en deux points distincts.
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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