Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: second degré et polynomes},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, 1èreS, 1S, première S,
devoir, second degré, 2nd degré, polynome, polynôme,
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
%{\pagestyle{empty}}%
%{%
%\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
\vspace*{-.2cm}
\setcounter{nex}{0}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
$2+\dfrac{3}{x-4}\geqslant\dfrac{1}{2-x}
\iff
\dfrac{-2x^2+8x-6}{(x-4)(2-x)}\geqslant0
\iff
\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}\geqslant0$.\\
Le trin\^ome du 2nd degré au numérateur a un discriminant
$\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines
$x_1=1$ et $x_2=3$.
Le trin\^ome du 2nd degré du dénominateur a comme racines
évidentes 2 et 4.
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &4& &$+\infty$
\\\hline
$-x^2+4x-3$& &-& \zb&+& $|$ &+&\zb&$-$& $|$ &$-$&\\\hline
$(x-4)(2-x)$& &-& $|$ &-& \zb &+&$|$&+& \zb & -&\\\hline
$\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}$
& &+& \zb &-& \db &+&\zb&-& \db & +&\\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi, $\mathcal{S}=]-\infty;1]\cup]2;3]\cup]4;+\infty[$.
\enex
\bgex
On considère le polyn\^ome $P$ défini par
$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.
\bgen
\item $P(1)=1-6+11-6=0$ et donc 1 est bien une racine de $P$.
\item $(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
et donc
$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\iff
\la\bgar{ll}
a=1\\
b-a=-6\\
c-b=11\\
-c=-6
\enar\right.$.
On trouve donc $a=1$, $b=-5$ et $c=6$,
ou encore
$P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$.
\item $Q(x)=x^2-5x+6$ est un trin\^ome du second degré de
discriminant $\Delta=1>0$ et admet donc deux racines
$x_1=2$ et $x_2=3$.
On a alors le tableau de signes:
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &$+\infty$
\\\hline
$x-1$& &-& \zb&+& $|$ &+&\zb &$+$&\\\hline
$Q(x)$& &+& $|$ &+& \zb &-&\zb&+& \\\hline
$P(x)$& &-& \zb &+& \zb &-&$|$&+& \\\hline
\end{tabular}
\]
On a alors $P(x)\geqslant0\iff x\in[1;2]\cup[3;+\infty[$.
\enen
\enex
\bgex
Si $M(x;y)$ est un éventuel point d'intersection,
alors $y=f(x)=g(x)$, soit donc l'équation
$(E): 2x^2+mx=x^2+3x-m\iff x^2+(m-3)x+m=0$.
Le discriminant de cette équation du second degré est
$\Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9$.
On veut que $(E)$ ait une unique solution,
donc que $\Delta=0$.
$\Delta$ est expression du second degré de discriminant
$\delta=10^2-4\tm9=64=8^2>0$ et admet donc deux racines
$m_1=1$ et $m_2=9$.
Pour $m=1$, $(E)$ s'écrit $x^2-2x+1=0\iff (x-1)^2=0$.
Ainsi $x=1$ et $y=f(1)=g(1)=3$
et $M(1;3)$ est l'unique point d'intersection.
Pour $m=9$, $(E)$ s'écrit $x^2+6x+9=0\iff (x+3)^2=0$.
Ainsi $x=-3$ et $y=f(-3)=g(-3)=-9$
et $M(-3;-9)$ est l'unique point d'intersection.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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