@ccueil Colles

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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: second degré, vriation d'une fonction, géométrie analytique: vecteurs et équations de droite
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S, sens de variation, variation, géométrie, vecteurs, droites, équation cartésienne
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}

%\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.5em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-.5cm}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé de devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\bgen[a)]
\item $x^3-x^2+5x=x(x^2-x+5)=0
  \iff\Bigl( x=0 \text{ ou } x^2-x+5=0\Bigr)$ 

  Le trinôme du second degré a pour discriminant 
  $\Delta=-19<0$ et n'admet donc pas de racine. 

  Finalement l'équation admet une unique solution réelle 
  $\mathcal{S}=\Bigl\{0\Bigr\}$.

\item En multipliant par $-4$ cette inégalité 
  on obtient $-\dfrac14x^2+x-1<0\iff x^2-4+4>0
  \iff (x-2)^2>0$. 
  Ainsi, les solutions sont $\mathcal{S}=\R\setminus\la2\ra$. 


\item $\dfrac{1-x}{1+x}\geqslant4x+5
  \iff \dfrac{1-x}{1+x}-(4x+5)\geqslant0
  \iff \dfrac{-4x^2-10x-4}{1+x}\geqslant0
  \iff \dfrac{2x^2+5x+2}{1+x}\leqslant0$

  Le trinôme du second degré du numérateur a pour discriminant 
  $\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines réelles distinctes 
  $x_1=\dfrac{-5-3}{4}=-2$ et $x_2=\dfrac{-5+3}{4}=-\dfrac12$. 

  On a alors le tableau de signe: 
  \[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
    $x$ & $-\infty$ & &$-2$& &$-1$& &$-\frac12$&&$+\infty$ 
    \\\hline
    $2x^2+5x+2$&   &+& \zb&-&      $|$    &-&\zb&+&\\\hline
    $1+x$&          &-& $|$ &-&      \zb    &+&$|$&+&\\\hline
    $\frac{2x^2+5x+2}{1+x}$
    & &-& \zb&+& \db    &-&\zb&+& \\\hline
  \end{tabular}\]
  Finalement, 
  les solutions de l'inéquation sont 
  $\mathcal{S}=]-\infty;-2]\cup]-1;-\frac12]$. 

\enen
\enex


\bgex
Comme pour tout réel $x$, $x^2\geqslant0$ 
on a $1+x^2\geqslant1$ et en particulier 
$1+x^2\not=0$: $f$ est donc définie sur $\R$. 

Soit $u:x\mapsto x^2$ la fonction carré, 
alors $f=1+(-1)\tm\dfrac{1}{1+u}$ et donc 
\[\psset{arrowsize=7pt}
\begin{tabular}{|c|cccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $0$ &&  $+\infty$& \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$u$} && 
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.3,0.)&&
\rput(-0.5,-0.){$0$}&
\psline{->}(-1.1,0.)(0.3,0.6)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$1+u$} && 
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.3,0.)&&
\rput(-0.5,-0.){$1$}&
\psline{->}(-1.1,0.)(0.4,0.6)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dfrac{1}{1+u}$} && 
\psline{->}(-0.8,0.)(0.3,0.6)&&
\rput(-0.5,0.5){$1$}&
\psline{->}(-1.1,0.6)(0.4,0.)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$-\dfrac{1}{1+u}$} && 
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.3,0.)&&
\rput(-0.5,0.){$-1$}&
\psline{->}(-1.,0.)(0.4,0.6)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$f=1-\dfrac{1}{1+u}$} && 
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.3,0.)&&
\rput(-0.5,0.){$0$}&
\psline{->}(-1.,0.)(0.4,0.6)&
\\\hline
\end{tabular}
\]

\enex


\bgex
On considère le polynôme $P(x)=x^3-2x^2-19x+20$. 
\bgen
\item On a, pour tout réel $x$, 
  $(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$, 
  et donc 
  \[P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)
  \iff
  \la\bgar{ll}
  a=1 \\
  b-a=-2 \\
  c-b=-19 \\
  -c=20
  \enar\right.
  \iff
  \la\bgar{ll}
  a=1 \\
  b=-1 \\
  c=-20
  \enar\right.
  \] 
  Ainsi, pour tout $x$ réel, 
  $P(x)=x^3-2x^2-19x+20=(x-1)(x^2-x-20)$. 

\item Le trinôme du second degré 
  $x^2-x-20$ admet pour discriminant  
  $\Delta=81=9^2>0$, et a donc deux racines réelles: 
  $x_1=\dfrac{1-9}{2}=-4$ et $x_2=\dfrac{1+9}{2}=5$. 
  On a alors: \\
  \ct{\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-4$ && $1$ && $5$ && $+\infty$ \\\hline
    $x-1$ && $-$ & $|$ & $-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $x^2-x-20$ && $+$ & \zb & $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    $P(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
  \end{tabular}
  }


\item 

  Le trinôme du second degré $x^2+x-6=0$ 
  a pour discriminant $\Delta=25=5^2>0$ et admet donc deux racines
  réelles distinctes: $x_1=2$ et $x_2=-3$.

  Pour tout $x\in\R\setminus\la -3;2\ra$, 
  \[\bgar{ll}
  x\geqslant\dfrac{3x^2+13x-20}{x^2+x-6}
  &\iff x-\dfrac{3x^2+13x-20}{x^2+x-6}\geqslant0\\[.8em]
  &=\dfrac{x\lp x^2+x-6\rp-\lp 3x^2+13x-20\rp}{x^2+x-6}\geqslant0\\[.8em]
  &=\dfrac{x^3-2x^2-19x+20}{x+2+x-6}
  =\dfrac{P(x)}{x^2+x-6}\geqslant0
  \enar\]

  \vspace{-0.5cm}
  On dresse alors le tableau de signes: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-4$ && $-3$ && $1$ && $2$ && $5$ && $+\infty$ \\\hline
    $P(x)$ && $-$ &\zb & $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ &$|$ & $-$ &\zb&$+$& \\\hline
    $x^2+x-6$ && $+$ &$|$ & $+$ &\zb&$-$&$|$& $-$ &\zb&$+$ &$|$&$+$& \\\hline
    $\dfrac{P(x)}{x^2+x-6}$ && $-$ &\zb &$+$& \db & $-$ & \zb & $+$ &\db & $-$ &\zb&$+$& \\\hline
  \end{tabular}\]

  Ainsi, 
  $x\geqslant\dfrac{3x^2+13x-20}{x^2+x-6}
  \iff x\in[-4;-3[\cup[1;2[\cup[5;+\infty$.
\enen
\enex


\bgex
Soit $A(2;3)$, $B(6;1)$, $C(5;-9)$, $D(-2;-5)$ et $E(0;5)$.
\bgen
\item $\V{AB}(4;-2)$ est un vecteur directeur de $(AB)$. 
  On a alors, 
  $M(x;y)\in(AB)\iff \V{AB}$ et $\V{AM}$ sont colinéaires, 
  soit avec $\V{AM}(x-2;y-3)$, \quad 
  $4(y-3)-(-2)(x-2)=0\iff 2x+4y-16=0$ 
  ou encore, en divisant par 2, 
  $(AB): 2x+y-7=0$. 

\item La droite $d$ parallèle à $(AB)$ a donc aussi comme vecteur
  directeur $\V{AB}$ et une équation de la forme $2x+4y+c=0$. 
  De plus $C\in d\iff 2\tm5+4\tm(-9)+c=0\iff c=26$, 
  et ainsi $d: 2x+y+26=0$. 

\item On a $2(-2)+4(-5)+26=2\not=0$ et $D\notin d$. 

  Comme $d/\!/(AB)$ et que $C\in d$ et$D\notin d$, 
  on en déduit que $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes. 
\enen
\enex


\bgex $A(2;1)$ et $B(3;3)$ et $d: 4x+3y-7=0$. 
\bgen
\item $\V{AB}(1;2)$ est un vecteur directeur de $(AB)$, 
  et donc, 
  $M(x;y)\in(AB)\iff \V{AM}$ et $\V{AB}$ sont colinéaires, 
  soit, avec $\V{AM}(x-2;y-1)$, \quad 
  $1\tm(y-1)-2\tm(x-2)=0\iff -2x+y+3=0$. 

\item $\vec{u}(-3;4)$ est un vecteur directeur de $d$. 
  $\V{AB}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires, 
  car $1\tm4-2\tm(-3)=10\not=0$, et donc les droites 
  $d$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles, donc sont sécantes. 

\item Soit $M(x;y)=d\cap(AB)$, alors 
  \[\la\bgar{ll}
  -2x+y+3=0\\
  4x+3y-7=0
  \enar\right.
  \iff
  \la\bgar{ll}
  y=2x-3\\
  4x+3(2x-3)-7=0
  \enar\right.
  \iff
  \la\bgar{ll}
  y=\dfrac15\\
  x=\dfrac{16}{10}=\dfrac{8}{5}
  \enar\right.
  \]
  Ainsi, le point d'intersection de $d$ et $(AB)$ 
  est $M\lp\dfrac85;\dfrac15\rp$. 
\enen
\enex



\bgex $M(x;y)\in \mathcal{C}_f\cap D_m
\iff y=-x^2+2x+2=(m+3)x+6
\Longrightarrow x^2+(m+1)x+4=0$. 

Le trinôme $P(x)=x^2+(m+1)x+4$ a pour discriminant 
$\Delta=(m+1)^2-16=(m+5)(m-3)$. 

Ce disciminant $\Delta$ est aussi du second degré et admet deux racines 
$m=-5$ et $m=3$ et ainsi: 
\bgit
\item lorsque $m\in]-\infty;-5[\cap]3;+\infty[$, $\Delta>0$ 
      et le trinôme $P$ admet deux racines réelles distinctes, 
      et donc $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux points d'intersection; 
\item lorsque $m\in]-5;3[$, $\Delta<0$ et le trinôme $P$ n'admet
      aucune racine réelle et donc $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ n'ont
      aucun point d'intersection; 
\item enfin, lorsque $m=-5$ ou $m=3$, $\Delta=0$ et $P$ a une unique
  racine qui est l'abscisse de l'unique point d'intersection de 
  $\mathcal{C}_f$ et $D_m$. 

\enit

\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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