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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: calculs de fonctions dérivées, études de fonctions, dérivabilité en un point, polynome
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S, fonction dérivée, sens de variation, variation, dérivabilité en un point, polynome
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: dérivées},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, dérivabilité, nombre dérivé, fonction dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.5em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.5cm}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Donner l'expression de la fonction dérivée $f'$ 
des fonctions $f$ suivantes 
(sans se soucier des ensembles de définition et de dérivabilité):

a) $f(x)=3x^5-\dfrac12x^4+6x-257$
\hfill
b) $f(x)=\lp 3x^2+5\rp\sqrt{x}$ 
\hfill
c) $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{2x+1}$
\hfill
d) $f(x)=\dfrac{x^2+3}{3-x}$

\enex

\bgex {\bf Vrai ou faux} 

\bgen
\item La fonction $f$ définie par $f(x)=-2x^2+6x-3$ 
  est croissante sur $[0;1]$. 
\item Soit $m$ un nombre réel. 
  La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3mx^2+75x+m$ 
  ne s'annule jamais. 
\item La fonction $f:x\mapsto x\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty[$ 
    n'est pas dérivable en $0$. 
\enen

\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\la\dfrac32\ra$ 
par l'expression $f(x)=x-1+\dfrac{2}{2x-3}$. 

Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de $f$, 
puis le sens de variation de $f$. 
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3+3x^2+2x+1$. 
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

\bgen
\item Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de $f$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item On note $P$ le polyn\^ome défini par $P(x)=x^3+3x^2-4$. 
  \bgen[a)]
  \item Vérifier que $-2$ est une racine de $P$ et 
    déterminer trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, 
    pour tout réel $x$, $P(x)=(x+2)\lp ax^2+bx+c\rp$.
  \item Déterminer le signe de $P(x)$.
  \enen
\item On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ 
  au point d'abscisse $-2$. 
  \bgen[a)] 
  \item Déterminer une équation de $T$.
  \item Le point $S(-4;-3)$ appartient-il à $T$ ? 
  \item Déterminer la position relative de $T$ et $\mathcal{C}_f$. 
  \enen
\item Tracer $T$ et $\mathcal{C}_f$ dans un repère. 
\enen
\enex

\bgex
$a$ d\'esigne un nombre r\'eel. 

$f$ est la fonction d\'efinie sur $\R$ par: 
$f(x)=ax^3+x^2+x+1$. 

\bgen
\item On suppose $a=0$. 
  D\'eterminer les variations de $f$. 
\item On suppose maintenant $a\not=0$. 
  \bgen[a)] 
  \item Pour tout nombre $x$, calculer $f'(x)$. 
  \item Pour quelles valeurs de $a$, la fonction $f$ est-elle
    croissante sur $\R$ ?
  \enen
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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