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sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: dérivées},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, dérivabilité, nombre dérivé, fonction dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.5em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.5cm}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Donner l'expression de la fonction dérivée $f'$
des fonctions $f$ suivantes
(sans se soucier des ensembles de définition et de dérivabilité):
a) $f(x)=3x^5-\dfrac12x^4+6x-257$
\hfill
b) $f(x)=\lp 3x^2+5\rp\sqrt{x}$
\hfill
c) $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{2x+1}$
\hfill
d) $f(x)=\dfrac{x^2+3}{3-x}$
\enex
\bgex {\bf Vrai ou faux}
\bgen
\item La fonction $f$ définie par $f(x)=-2x^2+6x-3$
est croissante sur $[0;1]$.
\item Soit $m$ un nombre réel.
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3mx^2+75x+m$
ne s'annule jamais.
\item La fonction $f:x\mapsto x\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty[$
n'est pas dérivable en $0$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\la\dfrac32\ra$
par l'expression $f(x)=x-1+\dfrac{2}{2x-3}$.
Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de $f$,
puis le sens de variation de $f$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=x^3+3x^2+2x+1$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\bgen
\item Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de $f$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item On note $P$ le polyn\^ome défini par $P(x)=x^3+3x^2-4$.
\bgen[a)]
\item Vérifier que $-2$ est une racine de $P$ et
déterminer trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que,
pour tout réel $x$, $P(x)=(x+2)\lp ax^2+bx+c\rp$.
\item Déterminer le signe de $P(x)$.
\enen
\item On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$
au point d'abscisse $-2$.
\bgen[a)]
\item Déterminer une équation de $T$.
\item Le point $S(-4;-3)$ appartient-il à $T$ ?
\item Déterminer la position relative de $T$ et $\mathcal{C}_f$.
\enen
\item Tracer $T$ et $\mathcal{C}_f$ dans un repère.
\enen
\enex
\bgex
$a$ d\'esigne un nombre r\'eel.
$f$ est la fonction d\'efinie sur $\R$ par:
$f(x)=ax^3+x^2+x+1$.
\bgen
\item On suppose $a=0$.
D\'eterminer les variations de $f$.
\item On suppose maintenant $a\not=0$.
\bgen[a)]
\item Pour tout nombre $x$, calculer $f'(x)$.
\item Pour quelles valeurs de $a$, la fonction $f$ est-elle
croissante sur $\R$ ?
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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