Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: dérivées},
pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, dérivabilité, nombre dérivé, fonction dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.5em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.5cm}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen[a)]
\item $f$ est une fonction polyn\^ome;
$f'(x)=3\lp5x^4\rp-\dfrac12\lp4x^3\rp+6-0=15x^4-2x^3+6$
\item $f=uv$, avec
$u(x)=3x^2+5$ donc $u'(x)=6x$
et $v(x)=\sqrt{x}$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$;
ainsi, $f'=u'v+uv'$,
soit
$f'(x)=6x\sqrt{x}+\dfrac{3x^2+5}{2\sqrt{x}}
=\dfrac{15x^2+5}{2\sqrt{x}}$
\item $f=u+7\dfrac{1}{v}$ avec
$u(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$,
et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$;
ainsi $f'=u'+7\dfrac{-v'}{v^2}$,
soit
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+7\dfrac{-2}{(2x+1)^2}
=\dfrac{-(2x+1)^2-14x^2}{x^2(2x+1)^2}
=\dfrac{-18x^2-4x-1}{x^2(2x+1)^2}$.
\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec
$u(x)=x^2+3$ donc $u'(x)=2x$,
et $v(x)=3-x$ donc $v'(x)=-1$;
ainsi
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit
$f'(x)=\dfrac{2x(3-x)-\lp x^2+3\rp(-1)}{(3-x)^2}
=\dfrac{-x^2+6x+3}{(3-x)^2}$
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item {\bf Vrai.}
Pour tout réel $x$, $f'(x)=-4x+6$, et
on a donc $f'(x)>0\iff x<\dfrac64=\dfrac32$;
en particulier $f'(x)>0$ pour $x\in[0;1]$ et $f$ y est
donc croissante.
\item {\bf Faux.}
$f(x)$ est un trin\^ome du second degré de discriminant
$\Delta=75^2+3m^2$.
Ainsi, pour tout réel~$m$, $\Delta>75^2>0$, ce qui montre que
$f(x)$ admet toujours, pour tout réel $m$,
deux racines réelles distinctes.
\item {\bf Faux.} Le taux d'accroissement de $f$ en $0$ est
$\tau(h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h\sqrt{h}}{h}=\sqrt{h}$.
Ainsi, $\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=0$ ce qui montre que $f$ est dérivable
en $0$ (et que, en plus, $f'(0)=0$).
\enen
\enex
\bgex
$f(x)=x-1+2\tm\dfrac{1}{u(x)}$,
avec $u(x)=2x-3$ donc $u'(x)=2$,
et alors
$f'(x)=1+2\tm\dfrac{u'(x)}{\lp u(x)\rp^2}
=1-\dfrac{4}{(2x-3)^2}
=\dfrac{(2x-3)^2-4}{(2x-3)^2}
=\dfrac{(2x-5)(2x-1)}{(2x-3)^2}$.
On peut alors dresser le tableu de signe de $f'(x)$,
puis de variation de $f$:
\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\rule[-.6em]{0em}{1.8em}
$x$ & $-\infty$ && $\frac12$ && $\frac32$ && $\frac52$ && $+\infty$ \\\hline
$(2x-5)(2x-1)$ && $+$ &\zb& $-$ && $-$ &$\zb$ &$+$ &\\\hline
$(2x-3)^2$ && $+$ &$|$& $+$ && $-$ &$\zb$ &$+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ && $-$ &$\zb$ &$+$ &\\\hline
&&&&&&&&&\\
$f$&&\psline{->}(-.6,-.5)(.5,.5)&&\psline{->}(-.6,.5)(.5,-.5)
&\psline(-.04,-.65)(-.04,2.4)\psline(.04,-.65)(.04,2.4)&
\psline{->}(-.4,.5)(.6,-.5)&&\psline{->}(-.6,-.5)(.5,.5)&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\enex
\bgex
\bgen
\item $f$ est une fonction polyn\^ome, donc dérivable sur $\R$,
avec $f'(x)=3x^2+3(2x)+2+0=3x^2+6x+2$.
\item $f'(x)$ est un trin\^ome du second degré de discriminant
$\Delta=6^2-4\tm3\tm2=12>0$ et admet donc deux racines réelles
$x_1=\dfrac{-6-\sqrt{12}}{2\tm3}=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}$
et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3}$.
On peut alors dresser le tableu de signe de $f'(x)$ puis de variation
de $f$:
\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $x_1$ && $x_2$ && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ &$\zb$ &$+$ &\\\hline
&&&&&&&\\
$f$&&\psline{->}(-.6,-.5)(.5,.5)&&\psline{->}(-.6,.5)(.5,-.5)
&&\psline{->}(-.6,-.5)(.5,.5)&\\
&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item
\bgen[a)]
\item $P(-2)=(-2)^3+3\tm(-2)^2-4=-8+12-4=0$,
donc $-2$ est bien une racine de $P$ qui
se factorise donc par $(x-(-2))=(x+2)$, \\
soit $P(x)=(x+2)\lp ax^2+bx+c\rp
=ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c$.
On doit donc avoir
$a=1$; $2a+b=3$; $2b+c=0$ et $2c=-4$
soit $a=1$, $b=1$, $c=-2$.
Ainsi, pour tout réel $x$, $P(x)=(x+2)(x^2+x-2)$.
\item Le trin\^ome du second degré $x^2+x-2$ a pour discriminant
$\Delta=9=3^2>0$, et admet donc deux racines réelles distinctes
$x_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{-1+3}{2}=1$. \\
On peut alors dresser le tableau de signes:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$x+2$ && $-$ &\zb& $+$ &$|$ &$+$ &\\\hline
$x^2+x-2$ && $+$ &\zb& $-$ & \zb &$+$ &\\\hline
$P(x)$ && $-$ &\zb& $-$ & \zb &$+$ &\\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Une équation de $T$ est donnée par
$y=f'(-2)(x-(-2))+f(-2)$, soit,
avec $f'(-2)=3(-2)^2+6(-2)+2=2$
et $f(-2)=(-2)^3+3(-2)^2+2(-2)+1=1$,
$y=2(x+2)+1=2x+5$.
\item Comme $2(-4)+5=-3$, on a $S\in T$.
\item Pour tout réel $x$,
$f(x)-(2x+5)=x^3+3x^2+2x+1-2x-5=x^3+3x^2-4=P(x)$,
et donc, d'après 3.b),
$\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ sur $]-\infty;-2[\cup]-2;1[$,
au dessus sur $]1;+\infty[$, et enfin $\mathcal{C}_f$ et $T$
se coupent aux points d'abscisses $-2$ et $1$.
\enen
\item
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.7cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(2.5,8)
\psline{->}(-4.5,0)(2,0)
\psline{->}(0,-3.5)(0,8)
\rput(-.3,-.3){0}
\psline[linestyle=dashed](1,-.1)(1,7)(-.1,7)
\rput(1,-.3){1}\rput(-.3,7){7}
\psline(-2,-.1)(-2,.1)\rput(-2,-.3){$-2$}
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,1)(0,1)
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.2,1.15){1}
\rput(-4,-3){$\tm$}\psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,-3)(0,-3)
\rput(-4.3,-3){$S$}
\psplot{-2.85}{1.1}{x 3 exp 3 x 2 exp mul add 2 x mul add 1 add}
\rput(-2.3,-2.5){$\mathcal{C}_f$}
\psplot{-4.2}{1.5}{2 x mul 5 add}
\rput(-.5,4.5){$T$}
\end{pspicture}\]
\enen
\enex
\vspace{-1em}
\bgex
\bgen
\item On suppose $a=0$, et on a donc $f(x)=x^2+x+1$.
Pour tout $x$ r\'eel, $f'(x)=2x+1$.
Ainsi, $f$ est d\'ecroissante sur $]-\infty;-\frac{1}{2}]$
et croissante sur $[-\frac{1}{2};+\infty[$.
\item On suppose maintenant $a\not=0$.
\bgen[a)]
\item Pour tout nombre $x$, $f'(x)=3ax^2+2x+1$.
\item Le discriminant du trin\^ome $f'(x)$ est $\Delta=4-12a$.
$f$ est croissante sur $\R$ si et seulement si sa d\'eriv\'ee $f'$
est toujours positive sur $\R$, et donc si et seulement si
$a>0$ et $\Delta\leqslant0$.
\medskip
$\Delta=4-12a\leqslant0\iff a\geqslant 3$.
\ul{$f$ est donc croissante sur $\R$ si et seulement si
$a\geqslant3$. }
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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