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Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: études de fonctions, dérivées
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S, fonction dérivée, sens de variation, variation, position relative de courbes
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques},
    pdftitle={Devoir de mathématiques - Etudes de fonctions, dérivées},
    pdfkeywords={devoir de mathématiques, fonction, dérivée, sens de variation, posi
tion relative de courbes}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
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\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par
l'expression 
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$. 

\medskip
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$  
(pr\'eciser les valeurs exactes des \'eventuels minimums et maximums). 
\enex

\bgex
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives 
des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R^*$ par 
$f(x)=\dfrac1x$ et $g(x)=-x+2$. 

\'Etudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. 
\enex


\bgex
$f$ est la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression: \quad
$f(x)=2x^3-3x^2-1$. 

\bgen
\item 
  \bgen[a.] 
  \item Dresser le tableau de variation de $f$. 
  \item Tracer l'allure de la courbe repr\'esentative de la fonction $f$. 
  \enen

\item 
  \bgen[a.] 
  \item Montrer que l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution 
    $\alpha$ sur $\R$, et que $\alpha\in[1;2]$. 
  \item Donner un encadrement \`a $10^{-2}$ pr\`es de $\alpha$. 
  \item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede le signe de $f(x)$. 
  \enen

\item Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la-1\ra$ par
  l'expression: \quad
  $g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$. 

  \bgen[a.] 
  \item D\'eterminer, pour tout nombre $x\not=-1$, $g'(x)$. 
  \item Dresser alors le tableau de variation de $g$. 
  \enen
\enen
\enex


\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$ 
par l'expression $f(x)=\dfrac{x^2}{2(x-1)}$. \\
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$. 
\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ 
  au point d'abscisse 3. 
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
  on note $A$ le point de coordonnées $A(1;1)$, 
  et, pour tout réel $x>1$, $M$ le point de coordonnées $M(x;0)$. 

  On définit de plus le point $N$, intersection de $(AM)$ 
  et de l'axe des ordonnées.  
  \bgen[a)]
  \item Calculer les coordonnées de $N$. 
  \item Montrer que l'aire du triangle $(OMN)$ 
    est égale à $f(x)$. 
  \item Pour quelle position du point $M$ l'aire du triangle $OMN$ 
    est-elle minimale ?
  \enen
\enen
\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction inverse, définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac1x$ 
et $\mathcal{H}$ sa courbe représentative dans un repère 
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

Pour un réel $a\not=0$, on désigne par $A$ le point de $\mathcal{H}$ 
d'abscisse $a$. 

On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{H}$ au point $A$, 
et $B$ et $C$ les points d'intersection de $T_a$ respectivement 
avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. 

Montrer que $A$ est le milieu de $[BC]$. 
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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