Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques},
pdftitle={Devoir de mathématiques - Etudes de fonctions, dérivées},
pdfkeywords={devoir de mathématiques, fonction, dérivée, sens de variation, posi
tion relative de courbes}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par
l'expression
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$.
\medskip
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$
(pr\'eciser les valeurs exactes des \'eventuels minimums et maximums).
\enex
\bgex
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives
des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R^*$ par
$f(x)=\dfrac1x$ et $g(x)=-x+2$.
\'Etudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\enex
\bgex
$f$ est la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression: \quad
$f(x)=2x^3-3x^2-1$.
\bgen
\item
\bgen[a.]
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Tracer l'allure de la courbe repr\'esentative de la fonction $f$.
\enen
\item
\bgen[a.]
\item Montrer que l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution
$\alpha$ sur $\R$, et que $\alpha\in[1;2]$.
\item Donner un encadrement \`a $10^{-2}$ pr\`es de $\alpha$.
\item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede le signe de $f(x)$.
\enen
\item Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la-1\ra$ par
l'expression: \quad
$g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$.
\bgen[a.]
\item D\'eterminer, pour tout nombre $x\not=-1$, $g'(x)$.
\item Dresser alors le tableau de variation de $g$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$
par l'expression $f(x)=\dfrac{x^2}{2(x-1)}$. \\
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.
\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$
au point d'abscisse 3.
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on note $A$ le point de coordonnées $A(1;1)$,
et, pour tout réel $x>1$, $M$ le point de coordonnées $M(x;0)$.
On définit de plus le point $N$, intersection de $(AM)$
et de l'axe des ordonnées.
\bgen[a)]
\item Calculer les coordonnées de $N$.
\item Montrer que l'aire du triangle $(OMN)$
est égale à $f(x)$.
\item Pour quelle position du point $M$ l'aire du triangle $OMN$
est-elle minimale ?
\enen
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction inverse, définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac1x$
et $\mathcal{H}$ sa courbe représentative dans un repère
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
Pour un réel $a\not=0$, on désigne par $A$ le point de $\mathcal{H}$
d'abscisse $a$.
On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{H}$ au point $A$,
et $B$ et $C$ les points d'intersection de $T_a$ respectivement
avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Montrer que $A$ est le milieu de $[BC]$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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