Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
%\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques - Etudes de fonctions, dérivées},
pdfkeywords={corrigé du devoir de mathématiques, fonction, dérivée, sens de variation, poistion relative de courbes}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = red,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1.5cm
\textheight=25.6cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm
\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par
l'expression
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec
$\la\bgar{ll}
u(x)&=x^2+3 \\
v(x)&=4x+1
\enar\right.$
soit
$\la\bgar{ll}
u'(x)&=2x \\
v'(x)&=4
\enar\right.$
\vsp
On a donc,
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit
$f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2}
=\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2}
$
\vsp
Le trin\^ome du num\'erateur a pour discriminant:
$\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$, et admet donc deux racines
$x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$
et
$x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$ .
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm}
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline
$4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline
$(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb &$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\db &$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$}
&\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline
\end{tabular}
\bgar{ll}
\bullet\
f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm]
\bullet\
f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1}
=\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7}
=\dfrac34\\
\enar
\]
\enex
\bgex
$f(x)-g(x)=\dfrac1x-(-x+2)
=\dfrac{x^2-2x+1}{x}
=\dfrac{(x-1)^2}{x}$.
Comme pour tout réel $x$, $(x-1)^2\geqslant0$, on a:
\bgit
\item $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur
$]-\infty;0[$
\item $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur
$]0;1[\cup]1;+\infty[$
\item $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point
d'abscisse 1.
\enit
\enex
\bgex \vspace{-3em}
\bgen
\item
\bgen[a.]
\item
\bgmp[t]{8cm}
Pour tout $x$ r\'eel, \[f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)\ .\]
\enmp
\bgmp{8cm}
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $0$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline
&&&$-1$&&&&\\
$f$ && \psline{->}(-0.6,-0.3)(0.3,0.4)
&&\psline{->}(-0.4,0.4)(0.4,-0.3)
&&
\psline{->}(-0.3,-0.3)(0.6,0.4)&
\\
&&&&&$-2$&&\\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
\item \
\psset{unit=.9cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,1.6)
\psline{->}(-3,0)(3,0)
\psline{->}(0,-3.6)(0,2.5)
\multido{\i=-2+1}{5}{
\psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\multido{\i=-3+1}{6}{
\psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
\psplot[linewidth=1.4pt]{-0.8}{1.9}{2 x 3 exp mul -3 x 2 exp mul add -1 add}
\psline{<->}(-0.7,-1)(0.7,-1)
\psline{<->}(0.3,-2)(1.7,-2)
\end{pspicture}
\enen
\item
\bgen[a.]
\item On a $f(1)=-2<0$ et $f(2)=3>0$.
De plus, $f$ est d\'erivable, strictement croissante sur $[1;2]$,
donc, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires,
l'\'equation $f(x)=0$ admet sur $[1;2]$ une unique solution~$\alpha$.
De plus, sur $]-\infty;1]$, le maximum de $f$ est $-1<0$,
donc l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution.
Enfin, sur $[2;+\infty[$, $f$ est d\'erivable et strictement
croissante avec $f(2)=3>0$, et donc l'\'equation $f(x)=0$ n'admet
aucune solution sur $[2;+\infty[$.
\vspd
Finalement, l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$
sur $\R$ et $\alpha\in[1;2]$.
\item Avec la calculatrice (un tableau de valeurs, ou
par dichotomie), on trouve
$1,67<\alpha<1,68$.
\item On en d\'eduit le signe de $f(x)$: \vspace{-2.2em}
\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\alpha$ &&$+\infty$ \\\hline
$f(x)$ && $-$ & \zb & $+$ &\\\hline
\end{tabular}
\]
\enen
\item
\bgen[a.]
\item Pour tout nombre $x\not=-1$,
$g'(x)=\dfrac{-1\tm(1+x^3)-(1-x)\tm3x^2}{\lp1+x^3\rp^2}
=\dfrac{f(x)}{\lp1+x^3\rp^2}
$
\item
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $\alpha$ &&$+\infty$ \\\hline
$f(x)$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline
$\lp1+x^3\rp^2$ && $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$g'(x)$ && $-$ & \db & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline
&&&&&&&\\
$g$ && \Large{$\searrow$}
&\psline(0,0.8)(0,-0.6)\psline(0.05,0.8)(0.05,-0.6)&
\Large{$\searrow$}
&&
\Large{$\nearrow$}&
\\
&&&&&$g(\alpha)$&&\\\hline
\end{tabular}
\]
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2$ donc $u'(x)=2x$,
et $v(x)=2(x-1)=2x-2$ donc $v'(x)=2$.
Ainsi $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit $f'(x)=\dfrac{2x\tm2(x-1)-x^2\tm2x}{\lb2(x-1)\rb^2}
=\dfrac{2x^2-4x}{4(x-1)^2}=\dfrac{2x(x-2)}{4(x-1)^2}$.
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & 1 && 2 && $+\infty$ \\\hline
$2x(x-2)$ && $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
$4(x-1)^2$ & \zb & $+$ &$|$& $+$ & \\\hline
$f'(x)$ & \db & $-$ &\zb&$+$& \\\hline
&&&&&\\
$f$&\psline(0,-.6)(0,.8)\psline(.06,-.6)(.06,.8)
&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.5,.5)(.5,-.5)&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.5,-.5)(.5,.5)&\\
&&&2&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item $T:y=f'(3)(x-3)+f(3)$,
avec $f(3)=\dfrac{3^2}{2(3-1)}=\dfrac94$
et $f'(3)=\dfrac{2\tm3(3-2)}{4(3-1)^2}=\dfrac{6}{16}=\dfrac38$,
donc
$T:y=\dfrac38(x-3)+\dfrac94=\dfrac38x+\dfrac98$.
\item Soit, comme $N$ appartient à l'axe des ordonnées,
$N(0;y)$.
Comme $N\in(AM)$, $\V{AN}$ et $\V{AM}$ sont colinéaires.
Or $\V{AM}(x-1;-1)$ et $\V{AN}(-1;y-1)$,
et donc
\[N\in(AM)\iff (x-1)\tm(y-1)-(-1)\tm-1=0
\iff y=\dfrac{1}{x-1}+1=\dfrac{x}{x-1}\]
Ainsi, $N\lp0;\dfrac{x}{x-1}\rp$.
\item L'aire de $OMN$ est
$\dfrac12 OM\tm ON=\dfrac12 x\tm \dfrac{x}{x-1}=f(x)$.
\item D'après la question 1., l'aire minimale est 2 lorsque $x=2$.
\enen
\enex
\bgex
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ et
l'\'equation de $T_a$ est
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit
$y=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)+\dfrac{1}{a}
=-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac{2}{a}$.
$T_a$ coupe l'axe des abscisses en
$B\lp x_B;0\rp$ avec
$0=-\dfrac{1}{a^2}x_B+\dfrac{2}{a}
\iff x_B=2a$.
Ainsi, $B(2a;0)$.
$T_a$ coupe l'axe des ordonn\'ees en $C\lp 0;y_C\rp$ avec
$y_C=-\dfrac{1}{a^2}\tm0+\dfrac{2}{a}$,
d'o\`u, $y_c=\dfrac{2}{a}$.
Ainsi, $C\lp0;\dfrac2a\rp$
\vspd
Les coordonn\'ees du milieu$I$ de $[BC]$ sont alors
$x_I=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{2a+0}{2}=a$
et
$y_I=\dfrac{y_B+y_c}{2}=\dfrac{0+\dfrac2a}{2}=\dfrac1a$,
soit
$I\lp a;\dfrac{1}{a}\rp$, c'est-\`a-dire les coordonn\'ees du point $A$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source 
