@ccueil Colles

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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: second degré, vriation d'une fonction, géométrie analytique: vecteurs et équations de droite
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S, dérivabilité en un point, nombre dérivé, fonction dérivée, taux d'accroissement, sens de variation, variation, intersection de deux courbes
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: dérivées},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, dérivabilité, nombre dérivé, fonction dérivée}
}
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    linkcolor = red,
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.5em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.5cm}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Pour un réel $h$ tel que $2+h\not=\dfrac23$, 
le taux d'accroissement de $f$ en $a=2$ est: 
\[\tau(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}
=\dfrac{\dfrac{4}{3(2+h)-2}-1}{h}
=\dfrac{\dfrac{4}{4+3h}-1}{h}
=\dfrac{-3h}{h(4+3h)}
=\dfrac{-3}{4+3h}\]
\enex
Ainsi, $f$ est dérivable en 2, 
avec $f'(2)=\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=-\dfrac34$. 


\bgex
Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est: 
\[\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{\Bigl(3(a+h)^2-2\Bigr)-\Bigl(3a^2-2\Bigr)}{h}
=\dfrac{6ah+3h^2}{h}=\dfrac{3h(2a+h)}{h}=3(2a+h)\]

Ainsi, $f$ est dérivable en tout $a$ réel, 
avec $f'(a)=\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=3(2a)=6a$. 
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item $f$ est une fonction polyn\^ome, c'est-à-dire une somme 
  de fonctions puissances et donc, 
  $f'(x)=3\tm5x^4-2\tm3x^2+\dfrac12\tm2x+0=15x^4-6x^2+x$. 
\item On a $f=\dfrac1u$, 
  avec $u(x)=2x-1$, donc $u'(x)=2$, 
  et alors 
  $f'=\dfrac{u'}{u^2}$, 
  soit $f'(x)=-\dfrac{2}{(2x-1)^2}$. 

\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec 
  $u(x)=3x-2$, donc $u'(x)=3$, 
  et $v(x)=-2x+3$, donc $v'(x)=-2$, 
  et alors 
  $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
  soit $f'(x)=\dfrac{3(-2x+3)-(3x-2)(-2)}{(-2x+3)^2}
  =\dfrac{5}{(-2x+3)^2}$

\enen
\enex

\bgex
Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ 
et $D_m$. \\
On a alors $y=f(x)=x^3+2x^2-3x+2$ et 
$y-mx-2=0 \iff y=mx+2$. 

On doit donc avoir 
$y=x^3+2x^2-3x+2=mx+2$ 
soit 
\[x^3+2x^2-(3+m)x=0\iff x\Bigl(x^2+2x-(3+m)\Bigr)=0
\iff \Bigl( x=0 \text{ ou } x^2+2x-(3+m)=0\Bigl)\]
Le discriminant de ce trin\^ome du second degré est
$\Delta=4+4(3+m)=4(4+m)$. 

De plus, $x=0$ est racine de trin\^ome si et seulement si $3+m=0\iff m=-3$. 

On a alors, 
\bgit
\item lorsque $\Delta>0\iff m>-4$, 
  et $m\not=-3$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont trois  
  points d'intersection (dont les ascisses sont 0  
  et $x_1$ et $x_2$).
\item lorque $m=-3$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux   
  points d'intersection (dont les ascisses sont 0  
  et la racine non nulle du trin\^ome). 
\item lorsque $\Delta=0\iff m=-4$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux 
  points d'intersection (dont les ascisses sont 0  
  et $x_0$ la racine du trin\^ome du second degré, 
  avec $x_0\not=0$ car $m=-4\not=-3$)
\item enfin lorsque $\Delta<0\iff m<-4$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ 
  ont un unique point d'intersection, d'abscisse 0.
\enit
\enex


\clearpage

\setcounter{nex}{0}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Pour un réel $h$ tel que $2+h\not=\dfrac23$, 
le taux d'accroissement de $f$ en $a=2$ est: 
\[\tau(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}
=\dfrac{\dfrac{4}{3(2+h)-2}-1}{h}
=\dfrac{\dfrac{4}{4+3h}-1}{h}
=\dfrac{-3h}{h(4+3h)}
=\dfrac{-3}{4+3h}\]
\enex
Ainsi, $f$ est dérivable en 2, 
avec $f'(2)=\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=-\dfrac34$. 


\bgex
Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est: 
\[\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{\Bigl(3(a+h)^2-2\Bigr)-\Bigl(3a^2-2\Bigr)}{h}
=\dfrac{6ah+3h^2}{h}=\dfrac{3h(2a+h)}{h}=3(2a+h)\]

Ainsi, $f$ est dérivable en tout $a$ réel, 
avec $f'(a)=\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=3(2a)=6a$. 
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item $f$ est une fonction polyn\^ome, c'est-à-dire une somme 
  de fonctions puissances et donc, 
  $f'(x)=3\tm5x^4-2\tm3x^2+\dfrac12\tm2x+0=15x^4-6x^2+x$. 
\item On a $f=\dfrac1u$, 
  avec $u(x)=2x-1$, donc $u'(x)=2$, 
  et alors 
  $f'=\dfrac{u'}{u^2}$, 
  soit $f'(x)=-\dfrac{2}{(2x-1)^2}$. 

\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec 
  $u(x)=3x-2$, donc $u'(x)=3$, 
  et $v(x)=-2x+3$, donc $v'(x)=-2$, 
  et alors 
  $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
  soit $f'(x)=\dfrac{3(-2x+3)-(3x-2)(-2)}{(-2x+3)^2}
  =\dfrac{5}{(-2x+3)^2}$

\enen
\enex

\bgex
Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ 
et $D_m$. \\
On a alors $y=f(x)=x^3+2x^2-3x+2$ et 
$y-mx-2=0 \iff y=mx+2$. 

On doit donc avoir 
$y=x^3+2x^2-3x+2=mx+2$ 
soit 
\[x^3+2x^2-(3+m)x=0\iff x\Bigl(x^2+2x-(3+m)\Bigr)=0
\iff \Bigl( x=0 \text{ ou } x^2+2x-(3+m)=0\Bigl)\]
Le discriminant de ce trin\^ome du second degré est
$\Delta=4+4(3+m)=4(4+m)$. 

De plus, $x=0$ est racine de trin\^ome si et seulement si $3+m=0\iff m=-3$. 

On a alors, 
\bgit
\item lorsque $\Delta>0\iff m>-4$, 
  et $m\not=-3$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont trois  
  points d'intersection (dont les ascisses sont 0  
  et $x_1$ et $x_2$).
\item lorque $m=-3$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux   
  points d'intersection (dont les ascisses sont 0  
  et la racine non nulle du trin\^ome). 
\item lorsque $\Delta=0\iff m=-4$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux 
  points d'intersection (dont les ascisses sont 0  
  et $x_0$ la racine du trin\^ome du second degré, 
  avec $x_0\not=0$ car $m=-4\not=-3$)
\item enfin lorsque $\Delta<0\iff m<-4$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ 
  ont un unique point d'intersection, d'abscisse 0.
\enit

\enex




\label{LastPage}
\end{document}

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