Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: dérivées},
pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, dérivabilité, nombre dérivé, fonction dérivée}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.5em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.5cm}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Pour un réel $h$ tel que $2+h\not=\dfrac23$,
le taux d'accroissement de $f$ en $a=2$ est:
\[\tau(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}
=\dfrac{\dfrac{4}{3(2+h)-2}-1}{h}
=\dfrac{\dfrac{4}{4+3h}-1}{h}
=\dfrac{-3h}{h(4+3h)}
=\dfrac{-3}{4+3h}\]
\enex
Ainsi, $f$ est dérivable en 2,
avec $f'(2)=\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=-\dfrac34$.
\bgex
Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est:
\[\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{\Bigl(3(a+h)^2-2\Bigr)-\Bigl(3a^2-2\Bigr)}{h}
=\dfrac{6ah+3h^2}{h}=\dfrac{3h(2a+h)}{h}=3(2a+h)\]
Ainsi, $f$ est dérivable en tout $a$ réel,
avec $f'(a)=\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=3(2a)=6a$.
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item $f$ est une fonction polyn\^ome, c'est-à-dire une somme
de fonctions puissances et donc,
$f'(x)=3\tm5x^4-2\tm3x^2+\dfrac12\tm2x+0=15x^4-6x^2+x$.
\item On a $f=\dfrac1u$,
avec $u(x)=2x-1$, donc $u'(x)=2$,
et alors
$f'=\dfrac{u'}{u^2}$,
soit $f'(x)=-\dfrac{2}{(2x-1)^2}$.
\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec
$u(x)=3x-2$, donc $u'(x)=3$,
et $v(x)=-2x+3$, donc $v'(x)=-2$,
et alors
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit $f'(x)=\dfrac{3(-2x+3)-(3x-2)(-2)}{(-2x+3)^2}
=\dfrac{5}{(-2x+3)^2}$
\enen
\enex
\bgex
Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de $\mathcal{C}_f$
et $D_m$. \\
On a alors $y=f(x)=x^3+2x^2-3x+2$ et
$y-mx-2=0 \iff y=mx+2$.
On doit donc avoir
$y=x^3+2x^2-3x+2=mx+2$
soit
\[x^3+2x^2-(3+m)x=0\iff x\Bigl(x^2+2x-(3+m)\Bigr)=0
\iff \Bigl( x=0 \text{ ou } x^2+2x-(3+m)=0\Bigl)\]
Le discriminant de ce trin\^ome du second degré est
$\Delta=4+4(3+m)=4(4+m)$.
De plus, $x=0$ est racine de trin\^ome si et seulement si $3+m=0\iff m=-3$.
On a alors,
\bgit
\item lorsque $\Delta>0\iff m>-4$,
et $m\not=-3$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont trois
points d'intersection (dont les ascisses sont 0
et $x_1$ et $x_2$).
\item lorque $m=-3$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux
points d'intersection (dont les ascisses sont 0
et la racine non nulle du trin\^ome).
\item lorsque $\Delta=0\iff m=-4$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux
points d'intersection (dont les ascisses sont 0
et $x_0$ la racine du trin\^ome du second degré,
avec $x_0\not=0$ car $m=-4\not=-3$)
\item enfin lorsque $\Delta<0\iff m<-4$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$
ont un unique point d'intersection, d'abscisse 0.
\enit
\enex
\clearpage
\setcounter{nex}{0}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Pour un réel $h$ tel que $2+h\not=\dfrac23$,
le taux d'accroissement de $f$ en $a=2$ est:
\[\tau(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}
=\dfrac{\dfrac{4}{3(2+h)-2}-1}{h}
=\dfrac{\dfrac{4}{4+3h}-1}{h}
=\dfrac{-3h}{h(4+3h)}
=\dfrac{-3}{4+3h}\]
\enex
Ainsi, $f$ est dérivable en 2,
avec $f'(2)=\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=-\dfrac34$.
\bgex
Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est:
\[\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{\Bigl(3(a+h)^2-2\Bigr)-\Bigl(3a^2-2\Bigr)}{h}
=\dfrac{6ah+3h^2}{h}=\dfrac{3h(2a+h)}{h}=3(2a+h)\]
Ainsi, $f$ est dérivable en tout $a$ réel,
avec $f'(a)=\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=3(2a)=6a$.
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item $f$ est une fonction polyn\^ome, c'est-à-dire une somme
de fonctions puissances et donc,
$f'(x)=3\tm5x^4-2\tm3x^2+\dfrac12\tm2x+0=15x^4-6x^2+x$.
\item On a $f=\dfrac1u$,
avec $u(x)=2x-1$, donc $u'(x)=2$,
et alors
$f'=\dfrac{u'}{u^2}$,
soit $f'(x)=-\dfrac{2}{(2x-1)^2}$.
\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec
$u(x)=3x-2$, donc $u'(x)=3$,
et $v(x)=-2x+3$, donc $v'(x)=-2$,
et alors
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit $f'(x)=\dfrac{3(-2x+3)-(3x-2)(-2)}{(-2x+3)^2}
=\dfrac{5}{(-2x+3)^2}$
\enen
\enex
\bgex
Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de $\mathcal{C}_f$
et $D_m$. \\
On a alors $y=f(x)=x^3+2x^2-3x+2$ et
$y-mx-2=0 \iff y=mx+2$.
On doit donc avoir
$y=x^3+2x^2-3x+2=mx+2$
soit
\[x^3+2x^2-(3+m)x=0\iff x\Bigl(x^2+2x-(3+m)\Bigr)=0
\iff \Bigl( x=0 \text{ ou } x^2+2x-(3+m)=0\Bigl)\]
Le discriminant de ce trin\^ome du second degré est
$\Delta=4+4(3+m)=4(4+m)$.
De plus, $x=0$ est racine de trin\^ome si et seulement si $3+m=0\iff m=-3$.
On a alors,
\bgit
\item lorsque $\Delta>0\iff m>-4$,
et $m\not=-3$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont trois
points d'intersection (dont les ascisses sont 0
et $x_1$ et $x_2$).
\item lorque $m=-3$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux
points d'intersection (dont les ascisses sont 0
et la racine non nulle du trin\^ome).
\item lorsque $\Delta=0\iff m=-4$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$ ont deux
points d'intersection (dont les ascisses sont 0
et $x_0$ la racine du trin\^ome du second degré,
avec $x_0\not=0$ car $m=-4\not=-3$)
\item enfin lorsque $\Delta<0\iff m<-4$, $\mathcal{C}_f$ et $D_m$
ont un unique point d'intersection, d'abscisse 0.
\enit
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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