@ccueil Colles

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Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé sur les dérivées de fonctions: calcul de dérivées, équations de tangentes, sens de variation de fonctions et résolution approchée d'une équation (théorème des valeurs intermédiaires)
Niveau
Première S
Mots clé
dérivée, tangente, équation de la tagente, étude du sens de variation, TVI, valeurs intermédiaires, devoir corrigé de mathématiques, maths
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: calcul de la dérivée d'une fonction, équation de la tangente et étude du sens de variation},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: dérivées},
    pdfkeywords={dérivée, nombre dérivé, tangente, sens de variation, 
      étude de fonction, S, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}


\bgex
Soit $f$ et $g$ les fonction d\'efinies sur $\R\setminus\la2\ra$ 
par: 
\[
f(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}
\quad\text{et}\quad
g(x)=\dfrac{9}{x-2}
\]

\bgen
\item Calculer $f'(x)$ et $g'(x)$ pour tout 
  $x\in\R\setminus\la2\ra$. 

  Que remarque-t-on ? 

\item Calculer $f(x)-g(x)$. 
  Justifier alors la remarque pr\'ec\'edente. 
\enen

\enex


\bgex
On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $[0;+\infty[$ par 
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$. 

\bgen
\item Montrer que, pour tout $x>0$, 
  $f'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 

  En d\'eduire que, pour tout r\'eel positif $x$, 
  $0\leq \sqrt{x}\leq \dfrac{x+1}{2}$. 

\enen

\enex




\bgex
\bgen
\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression 
    $f(x)=x^3-3x-4$. 
  \bgen[a.] 
  \item Etudier les variations de $f$, et dresser son tableau de
    variation. 

  \item Montrer que l'\'equation $f(x)=0$ a une unique solution $a$ sur
    $[2;3]$. 

    Donner un encadrement de $a$ d'amplitude $10^{-2}$. 

  \item D\'eterminer le signe de $f(x)$ sur $\R$. 
  \enen

\item On appelle $g$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la0\ra$ par 
  $g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$. 
  \bgen[a.]
  \item Calculer la d\'eriv\'ee $g'$ de $g$ et montrer que 
    $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x^3}$ pour tout $x$ de $\R\setminus\la0\ra$. 

  \item En d\'eduire les variations de $g$. 

  %\item Montrer que $g(a)=\dfrac{6a-2}{a^2}$; 
  %  en d\'eduire un encadrement de $g(a)$.   
  \enen
\enen

\enex

\bgex
On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac{ax+b}{x^2+3}$, 
$a$ et $b$ d\'esignant deux constantes r\'eelles, 
et $\mathcal{C}$ la courbe de $f$. 

\bgen
\item D\'emontrer que la d\'eriv\'ee de $f$ s'\'ecrit 
  $f'(x)=\dfrac{-ax^2-2bx+3a}{(x^2+3)^2}$. 

\item D\'eterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que $\mathcal{C}$ passe
  par le point $A(1;0)$ et admette en ce point une tangente de
  coefficient directeur $\dfrac{3}{2}$. 

  \vspd
  \textsl{Dans toute la suite, on prendra $f(x)=\dfrac{6x-6}{x^2+3}$. }

\item Etudier les variations de $f$, et dresser son tableau de
  variation. 

\item Donner une \'equation de la tangente $T$ \`a la courbe de $f$ en
  $A$. 

\item Tracer $T$ et $\mathcal{C}$ dans le plan muni d'un rep\`ere
  orthogonal d'unit\'e 1 cm en abscisse et 3 cm en ordonn\'ee. 
\enen

\enex


\bgex
$f$ est la fonction d\'efinie sur $\R$ par: 
$f(x)=ax^3+x^2+x+1$, 
où $a$ d\'esigne un nombre r\'eel non nul. 
Pour quelles valeurs de $a$, la fonction $f$ est-elle
croissante sur $\R$ ?


\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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