@ccueil Colles

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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir corrigé sur les dérivées de fonctions: calcul de dérivées, équations de tangentes, sens de variation de fonctions et résolution approchée d'une équation (théorème des valeurs intermédiaires)
Niveau
Première S
Mots clé
dérivée, tangente, équation de la tagente, étude du sens de variation, TVI, valeurs intermédiaires, devoir corrigé de mathématiques, maths
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: calcul de la dérivée d'une fonction, équation de la tangente et étude du sens de variation},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques: dérivées},
    pdfkeywords={dérivée, nombre dérivé, tangente, sens de variation, 
      étude de fonction, S, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\bgen
\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec 
  $\la\bgar{ll} u(x)=4x+1 \\ v(x)=x-2\enar\right.$ 
  et donc, 
  $\la\bgar{ll} u'(x)=4 \\ v'(x)=1\enar\right.$

  On a alors, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit 
  pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$, 
  $f'(x)=\dfrac{4(x-2)-(4x+1)1}{(x-2)^2}
  =\dfrac{-9}{(x-2)^2}
  $. 

  $g=9\tm\dfrac{1}{v}$ avec $v(x)=x-2$, donc $v'(x)=1$, et alors, 
  pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$, 
  $g'(x)=9\tm\dfrac{-1}{(x-2)^2}$. 

  On remarque que pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$, 
  $f'(x)=g'(x)$. 

\item Pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$, 
  $f(x)-g(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}-\dfrac{9}{x-2}
  =\dfrac{4x-8}{x-2}
  =\dfrac{4(x-2)}{x-2}=4$. 

  Ainsi, $\lp f(x)-g(x)\rp'=\lp 4\rp'=0$. 

  Or, $\lp f(x)-g(x)\rp'=f'(x)-g'(x)$, et on en retrouve alors que 
  $f'(x)=g'(x)$. 
\enen

\enex


\bgex
On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $[0;+\infty[$ par 
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$. 

\bgen
\item Pour tout $x>0$, 
  $f'(x)
  =\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2}
  =\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigl((x+1)-2\sqrt{x}\sqrt{x}\Bigr)}{(x+1)^2}
  =\dfrac{-x+1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}
  $

\item Pour tout $x>0$, $(1+x)^2>0$ et $\sqrt{x}>0$. 
  Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $-x+1$: 
  \[\begin{tabular}[t]{|c|ccccc|}\hline
    $x$& $0$ & & $1$ & & $+\infty$ \\\hline
    $f'(x)$ & \db & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
    &&&$\frac{1}{2}$&& \\
    $f(x)$ & & \Large{$\nearrow$} & 
    & \Large{$\searrow$} & \\
    &0&& && \\\hline
  \end{tabular}\]

  D'apr\`es le tableau de variation de $f$, 
  pour tout $x\geqslant 0$, 
  $0\leqslant f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\leqslant \dfrac{1}{2}$, 
  d'o\`u, en mulipliant par $1+x>0$, 
  \quad$0\leqslant \sqrt{x}\leqslant \dfrac{1}{2}(1+x)$. 
\enen

\enex




\bgex
\bgen
\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression 
    $f(x)=x^3-3x-4$. 
  \bgen[a.] 
  \item $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$, et donc, 
    
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
    $f'(x)$ && $+$ & \zb& $-$ &\zb&$+$ & \\\hline
    &&&-2&&&&\\
    $f(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&&
    \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&&
    \psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\
    &&&&&-6&&\\\hline
    \end{tabular}\]


  \item La fonction $f$ est d\'erivable sur $[2;3]$, 
    strictement croissante, et telle que $f(2)=-2<0$ et $f(3)=14>0$. 

    On en d\'eduit, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediares, 
    que l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[2;3]$. 

    \vspd
    De plus, on calcule que $f(2,19)\simeq -0,07<0$ et 
    $f(2,20)\simeq 0,05>0$, d'o\`u 
    \ul{$2,19<a<2,20$}.

  \item On en d\'eduit le signe de $f(x)$ sur $\R$: 
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $a$ && $+\infty$ \\\hline
    &&&-2&&&&&&\\
    $f(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&&
    \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&&
    \psline{->}(-0.4,-0.3)(1.4,0.6)&\rput(0,0.12){$0$}&&\\
    &&&&&-6&&&&\\\hline
    $f(x)$ &&&$-$&&&&\zb& $+$&\\\hline
    \end{tabular}\]


  \enen

\item On appelle $g$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la0\ra$ par 
  $g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$. 
  \bgen[a.]
  \item On a $g=\dfrac{u}{v}$, avec 
    $u(x)=x^3+3x+2$, $u'(x)=3x^2+3$, et 
    $v(x)=x^2$, $v'(x)=2x$, d'o\`u, 
    \[
    g'(x)
    =\dfrac{(3x^2+3)x^2-(x^3+3x+2)(2x)}{x^4}
    =\dfrac{x^4-3x^2-4x}{x^4}
    =\dfrac{x^3-3x-4}{x^3}
    =\dfrac{f(x)}{x^3}
    \]

  \item On d\'eduit de la question 1.c) le tableau de variation: 

    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $0$ && $a$ && $+\infty$ \\\hline
    $f(x)$ && $-$ &$|$ & $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
    $x^3$ && $-$ &\zb&$+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
    $g'(x)$ && $+$ & \db & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
    &&&\psline(0,-1.2)(0,0.3)\,\psline(0,-1.2)(0,0.3)&&&&\\
    $g(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&&
    \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&&
    \psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\
    &&&&&$g(a)$&&\\\hline
    \end{tabular}\]


  %\item Montrer que $g(a)=\dfrac{6a-2}{a^2}$; 
  %  en d\'eduire un encadrement de $g(a)$.   
  \enen
\enen

\enex

\bgex
On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac{ax+b}{x^2+3}$, 
$a$ et $b$ d\'esignant deux constantes r\'eelles, 
et $\mathcal{C}$ la courbe de $f$. 

\bgen
\item On a $f=\dfrac{u}{v}$, 
  avec $u(x)=ax+b$, $u'(x)=a$ et $v(x)=x^2+3$, $v'(x)=2x$, 
  et donc, 
  \[f'(x)
  =\dfrac{a(x^2+3)-(ax+b)(2x)}{(x^2+3)^2}
  =\dfrac{-ax^2-2bx+3a}{(x^2+3)^2}
  \]

\item 
  On veut que $\mathcal{C}$ passe par $A(1;0)$, 
  c'est-\`a-dire que 
  $f(1)=0\iff \dfrac{a+b}{4}=0\iff a+b=0$. 

  De plus, le coefficient directeur de la tangente en $A$ est
  $\dfrac{3}{2}$, c'est-\`a-dire 
  \[f'(1)=\dfrac{3}{2}
  \iff \dfrac{-a-2b+3a}{16}=\dfrac{3}{2}
  \iff 2a-2b=24
  \iff a-b=12
  \]


  En r\'esum\'e, on doit avoir 
  $\la\bgar{ll} a+b=0\\a-b=12\enar\right.$. 

  En ajoutant et soustrayant ces deux \'equations, on trouve 
  $a=6$ et $b=-6$, soit 
  $f(x)=\dfrac{6x-6}{x^2+3}$. 

  \vspd
\item D'apr\`es 1., on a 
  $f'(x)=\dfrac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2}
  =6\dfrac{-x^2+2x+3}{(x^2+3)^2}
  $.

  Le trin\^ome du second degr\'e au num\'erateur a pour racines 
  $x=-1$ et $x=3$, et on a alors: 

  \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ &$-\infty$ && $-1$ && $3$ && $+\infty$ \\\hline
    $-x^2+3x+3$ && $-$ & \zb & $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
    $(x^2+3)^2$ && $+$ & $|$ & $+$ &$|$& $+$ & \\\hline
    $f'(x)$&& $-$ & \zb & $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
    &&&&&1&& \\
    $f(x)$&& \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3) &&
  \psline{->}(-0.6,-0.4)(0.4,0.6)&&
\psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&\\
    &&&-3&&&& \\\hline
  \end{tabular}\]

\item En $A$, on a $f'(1)=\dfrac{3}{2}$, et $f(1)=0$, 
  d'o\`u l'\'equation de la tangente $T$ \`a la courbe de $f$ en
  $A$: 
  $y=f'(1)(x-1)+f(1)=\dfrac{3}{2}(x-1)$

\item \ 

  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,2)
    \psline[arrowsize=6pt]{->}(-5,0)(5,0)
    \psline[arrowsize=6pt]{->}(0,-3.5)(0,2)
    \multido{\i=-4+1}{9}{
      \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
      \rput(\i,-0.3){$\i$}
    }
    \multido{\i=-3+1}{5}{
      \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
      \rput(-0.3,\i){$\i$}
    }
    \psplot{-5}{5}{
      6 x mul 6 sub
      x x mul 3 add
      div
    }
    \rput(-4,-2){$\mathcal{C}_f$}
    % Tangente horizontale en -1
    \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,-3)
    \psline[arrowsize=5pt]{<->}(-2.5,-3)(0.5,-3)
    % Tangente horizontale en 3
    \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,1)
    \psline[arrowsize=5pt]{<->}(1.5,1)(4.5,1)
    % Tangente en A
    \rput(0.9,0.3){$A$}
    \psplot{-0.7}{2.3}{1.5 x 1 sub mul}
    \rput(2,1.8){$T$}
  \end{pspicture}

\enen

\enex


\bgex
Pour tout nombre $x$, $f'(x)=3ax^2+2x+1$.

Le discriminant du trin\^ome $f'(x)$ est $\Delta=4-12a$. 


$f$ est croissante sur $\R$ si et seulement si sa d\'eriv\'ee $f'$
est toujours positive sur $\R$, et donc si et seulement si 
$a>0$ et $\Delta\leqslant0$. 

$\Delta=4-12a\leqslant0\iff a\geqslant 3$. 
$f$ est donc croissante sur $\R$ si et seulement si
$a\geqslant3$.
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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