Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: calcul de la dérivée d'une fonction, équation de la tangente et étude du sens de variation},
pdftitle={Correction du devoir de mathématiques: dérivées},
pdfkeywords={dérivée, nombre dérivé, tangente, sens de variation,
étude de fonction, S, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec
$\la\bgar{ll} u(x)=4x+1 \\ v(x)=x-2\enar\right.$
et donc,
$\la\bgar{ll} u'(x)=4 \\ v'(x)=1\enar\right.$
On a alors, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit
pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$,
$f'(x)=\dfrac{4(x-2)-(4x+1)1}{(x-2)^2}
=\dfrac{-9}{(x-2)^2}
$.
$g=9\tm\dfrac{1}{v}$ avec $v(x)=x-2$, donc $v'(x)=1$, et alors,
pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$,
$g'(x)=9\tm\dfrac{-1}{(x-2)^2}$.
On remarque que pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$,
$f'(x)=g'(x)$.
\item Pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$,
$f(x)-g(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}-\dfrac{9}{x-2}
=\dfrac{4x-8}{x-2}
=\dfrac{4(x-2)}{x-2}=4$.
Ainsi, $\lp f(x)-g(x)\rp'=\lp 4\rp'=0$.
Or, $\lp f(x)-g(x)\rp'=f'(x)-g'(x)$, et on en retrouve alors que
$f'(x)=g'(x)$.
\enen
\enex
\bgex
On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $[0;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$.
\bgen
\item Pour tout $x>0$,
$f'(x)
=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2}
=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigl((x+1)-2\sqrt{x}\sqrt{x}\Bigr)}{(x+1)^2}
=\dfrac{-x+1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}
$
\item Pour tout $x>0$, $(1+x)^2>0$ et $\sqrt{x}>0$.
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $-x+1$:
\[\begin{tabular}[t]{|c|ccccc|}\hline
$x$& $0$ & & $1$ & & $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ & \db & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
&&&$\frac{1}{2}$&& \\
$f(x)$ & & \Large{$\nearrow$} &
& \Large{$\searrow$} & \\
&0&& && \\\hline
\end{tabular}\]
D'apr\`es le tableau de variation de $f$,
pour tout $x\geqslant 0$,
$0\leqslant f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\leqslant \dfrac{1}{2}$,
d'o\`u, en mulipliant par $1+x>0$,
\quad$0\leqslant \sqrt{x}\leqslant \dfrac{1}{2}(1+x)$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=x^3-3x-4$.
\bgen[a.]
\item $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$, et donc,
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \zb& $-$ &\zb&$+$ & \\\hline
&&&-2&&&&\\
$f(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&&
\psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&&
\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\
&&&&&-6&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item La fonction $f$ est d\'erivable sur $[2;3]$,
strictement croissante, et telle que $f(2)=-2<0$ et $f(3)=14>0$.
On en d\'eduit, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediares,
que l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[2;3]$.
\vspd
De plus, on calcule que $f(2,19)\simeq -0,07<0$ et
$f(2,20)\simeq 0,05>0$, d'o\`u
\ul{$2,19<a<2,20$}.
\item On en d\'eduit le signe de $f(x)$ sur $\R$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $a$ && $+\infty$ \\\hline
&&&-2&&&&&&\\
$f(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&&
\psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&&
\psline{->}(-0.4,-0.3)(1.4,0.6)&\rput(0,0.12){$0$}&&\\
&&&&&-6&&&&\\\hline
$f(x)$ &&&$-$&&&&\zb& $+$&\\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\item On appelle $g$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la0\ra$ par
$g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$.
\bgen[a.]
\item On a $g=\dfrac{u}{v}$, avec
$u(x)=x^3+3x+2$, $u'(x)=3x^2+3$, et
$v(x)=x^2$, $v'(x)=2x$, d'o\`u,
\[
g'(x)
=\dfrac{(3x^2+3)x^2-(x^3+3x+2)(2x)}{x^4}
=\dfrac{x^4-3x^2-4x}{x^4}
=\dfrac{x^3-3x-4}{x^3}
=\dfrac{f(x)}{x^3}
\]
\item On d\'eduit de la question 1.c) le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $0$ && $a$ && $+\infty$ \\\hline
$f(x)$ && $-$ &$|$ & $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
$x^3$ && $-$ &\zb&$+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$g'(x)$ && $+$ & \db & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
&&&\psline(0,-1.2)(0,0.3)\,\psline(0,-1.2)(0,0.3)&&&&\\
$g(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&&
\psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&&
\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\
&&&&&$g(a)$&&\\\hline
\end{tabular}\]
%\item Montrer que $g(a)=\dfrac{6a-2}{a^2}$;
% en d\'eduire un encadrement de $g(a)$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{ax+b}{x^2+3}$,
$a$ et $b$ d\'esignant deux constantes r\'eelles,
et $\mathcal{C}$ la courbe de $f$.
\bgen
\item On a $f=\dfrac{u}{v}$,
avec $u(x)=ax+b$, $u'(x)=a$ et $v(x)=x^2+3$, $v'(x)=2x$,
et donc,
\[f'(x)
=\dfrac{a(x^2+3)-(ax+b)(2x)}{(x^2+3)^2}
=\dfrac{-ax^2-2bx+3a}{(x^2+3)^2}
\]
\item
On veut que $\mathcal{C}$ passe par $A(1;0)$,
c'est-\`a-dire que
$f(1)=0\iff \dfrac{a+b}{4}=0\iff a+b=0$.
De plus, le coefficient directeur de la tangente en $A$ est
$\dfrac{3}{2}$, c'est-\`a-dire
\[f'(1)=\dfrac{3}{2}
\iff \dfrac{-a-2b+3a}{16}=\dfrac{3}{2}
\iff 2a-2b=24
\iff a-b=12
\]
En r\'esum\'e, on doit avoir
$\la\bgar{ll} a+b=0\\a-b=12\enar\right.$.
En ajoutant et soustrayant ces deux \'equations, on trouve
$a=6$ et $b=-6$, soit
$f(x)=\dfrac{6x-6}{x^2+3}$.
\vspd
\item D'apr\`es 1., on a
$f'(x)=\dfrac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2}
=6\dfrac{-x^2+2x+3}{(x^2+3)^2}
$.
Le trin\^ome du second degr\'e au num\'erateur a pour racines
$x=-1$ et $x=3$, et on a alors:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ &$-\infty$ && $-1$ && $3$ && $+\infty$ \\\hline
$-x^2+3x+3$ && $-$ & \zb & $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
$(x^2+3)^2$ && $+$ & $|$ & $+$ &$|$& $+$ & \\\hline
$f'(x)$&& $-$ & \zb & $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
&&&&&1&& \\
$f(x)$&& \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3) &&
\psline{->}(-0.6,-0.4)(0.4,0.6)&&
\psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&\\
&&&-3&&&& \\\hline
\end{tabular}\]
\item En $A$, on a $f'(1)=\dfrac{3}{2}$, et $f(1)=0$,
d'o\`u l'\'equation de la tangente $T$ \`a la courbe de $f$ en
$A$:
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=\dfrac{3}{2}(x-1)$
\item \
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,2)
\psline[arrowsize=6pt]{->}(-5,0)(5,0)
\psline[arrowsize=6pt]{->}(0,-3.5)(0,2)
\multido{\i=-4+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\multido{\i=-3+1}{5}{
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
\psplot{-5}{5}{
6 x mul 6 sub
x x mul 3 add
div
}
\rput(-4,-2){$\mathcal{C}_f$}
% Tangente horizontale en -1
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,-3)
\psline[arrowsize=5pt]{<->}(-2.5,-3)(0.5,-3)
% Tangente horizontale en 3
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,1)
\psline[arrowsize=5pt]{<->}(1.5,1)(4.5,1)
% Tangente en A
\rput(0.9,0.3){$A$}
\psplot{-0.7}{2.3}{1.5 x 1 sub mul}
\rput(2,1.8){$T$}
\end{pspicture}
\enen
\enex
\bgex
Pour tout nombre $x$, $f'(x)=3ax^2+2x+1$.
Le discriminant du trin\^ome $f'(x)$ est $\Delta=4-12a$.
$f$ est croissante sur $\R$ si et seulement si sa d\'eriv\'ee $f'$
est toujours positive sur $\R$, et donc si et seulement si
$a>0$ et $\Delta\leqslant0$.
$\Delta=4-12a\leqslant0\iff a\geqslant 3$.
$f$ est donc croissante sur $\R$ si et seulement si
$a\geqslant3$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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