@ccueil Colles

Source LaTeX icone DS-Droite-2nd-degre-c



Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: second degré, polynômes et équations de droite
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, second degré, troisième degré, trinome du second degré, équation du 2nd degré, signe d'un trinome, factorisation des polynômes, inéquation du 2nd degré, équation de droite, équation réduite de droite, équation cartésienne de droite, vecteurs colinéaires, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                      %
%   Generateur automatique de devoir,  %
%   par Y. Morel                       %
%   http://xymaths.free.fr             %
%                                      %
%      Genere le:                      %
%   mercredi 22 novembre 2017           %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: polynomes et équations de droites},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1èreS, 1S, première S, 
      devoir, DS, DM, 
      équation de droite, équation réduite, équation cartésienne, 
      vecteurs colinéaires, 
      second degré, 2nd degré, polynome, polynôme, 
    }
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}		% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}		% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Correction du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\bgit
\item[1)] Soit $Q(x)=ax^2+bx+c$, alors on a: 
  $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$, d'o\`u on d\'eduit que 
  $\la\bgar{l} a=3\\ a+b=-7\\ b+c=-7 \\ c=3\enar\right.$, 
  soit donc, 
  $a=3$, $b=-10$ et $c=3$. \vspd

  Ainsi, $P(x)=(x+1)(3x^2-10x+3)$. 
  Le discriminant de $Q(x)$ est 
  $\Delta=64$ et ses racines sont $x_1=\frac{1}{3}$ et $x_2=3$. 

  Les solutions de l'\'equation $P(x)=0$ sont donc: 
  \ul{$\mathcal{S}=\la -1;\frac{1}{3};3\ra$}.


  
  \vspd
\item[2)]
  On a $3x^2-12x+12=0 \iff 3(x-2)^2=0 \iff x=2$.  

  \`A l'aide de la factorisation obtenue au $1)$, on a 

  \[
    \begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
      $x$ & $-\infty$ & &$-1$& &$\frac{1}{3}$& &$2$& &$3$& &$+\infty$ \\\hline
      $x+1$&          &-& \zb&+&      $|$    &+&$|$&+&$|$&+&\\\hline
      $3x^2-10x+3$&   &+& $|$&+&      \zb    &-&$|$&-&\zb&+&\\\hline
      $3x^2-12x+12$&  &+& $|$&+&      $|$    &+&\zb&+&$|$&+& \\\hline
      $f(x)$&         &-& \zb&+&      \zb    &-&\db&-&\zb&+& \\\hline
    \end{tabular}
    \]
    Les solutions sont  
    $\mathcal{S}=[-1;\frac{1}{3}]\cup[3;+\infty[$.
\enit
\enex


\bgex
Soit $f(x)=x^2+mx+m$, o\`u $m$ d\'esigne un nombre r\'eel. 

\bgen
\item $f(1)=1^2+m+m=1+2m=0 \iff m=-\dfrac12$. 
\item $f$ admet deux racines distinctes si et seulement si 
  $\Delta>0$, 
  soit 
  $\Delta=m^2-4m>0$. 

  $\Delta$ est un trin\^ome du second degr\'e qui a pour racines \'evidentes 
  $0$ et $4$, et qui est positif \`a l'ext\'erieur de ses racines. 

  Ainsi, 
  $f$ admet 2 racines $\iff\Delta>0\iff m\in]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$. 

\item $f(x)>1\iff x^2+mx+(m-1)>0$. 

  Ce trin\^ome est toujours positif (ne change jamais de signe, et en
  particulier ne s'annule jamais) 
  si $\Delta=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2<0$, 
  ce qui est impossible, un carr\'e \'etant toujours positif ou nul. 

  Ainsi, il n'existe pas de valeur de $m$ telle que 
  $f(x)>1$ pour tout r\'eel $x$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit, dans un repère du plan, les points 
$A(2;3)$, $B(6;1)$, $C(5;-9)$ et $D(-2;-5)$.
\bgen
\item Soit $M(x;y)\in(AB)$, 
  alors $\V{AB}$ et $\V{AM}$ sont colinéaires. 
  
  On a $\V{AB}(4;-2)$ et $\V{AM}(x-2;y-3)$, 
  d'où l'équation de $(AB)$: 
  $4(y-3)-(-2)(x-2)=0\iff 2x+4y-16=0$. 

\item $d//(AB)$ donc $\V{AB}$ est aussi un vecteur directeur de $d$ 
  et donc une équation cartésienne de $d$ est de la forme 
  $2x+4y+c=0$. 

  Comme $C(5;-9)\in d$ on a aussi $2\tm5+4\tm(-9)+c=0\iff c=26$, 
  et ainsi, 
  $d: 2x+4y+26=0$. 

  Comme $D(-2;-5)$ et $2\tm(-2)+4\tm(-5)+26=2\not=0$, 
  on a $D\notin d$. 
\enen
\enex


\bgex
\[\psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-5,-4.5)(5,3.1)
    \psline{->}(-4.2,0)(4.2,0)
    \psline{->}(0,-4.2)(0,4.2)
    \multido{\i=-4+1}{9}{
      \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
      %\rput(\i,-0.25){$\i$}
      \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
      %\rput(-0.25,\i){$\i$}
    }
    \psplot{-4}{-0.25}{1 x div}
    \psplot{0.25}{4}{1 x div}
    \rput(-1,-1){\large$\tm$}\rput(-0.7,-0.9){$A$}
    \rput(-1,0){\large$\tm$}\rput(-1,0.3){$B$}
    \rput(0,-1){\large$\tm$}\rput(0.3,-1){$C$}
    %
    \rput(2,3){$\tm$}\rput(2.8,3.){$M(a;b)$}
    \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3)(0,3)
    \rput(2,-0.25){$a$}\rput(2,0){\large$\tm$}\rput(1.7,0.2){$P$}
    \rput(-0.3,3){$b$}\rput(0,3){\large$\tm$}\rput(0.2,2.7){$Q$}
    \psplot{-4}{4}{0.5 x mul -1 add}
    \psplot{-2.4}{0.6}{3 x mul 3 add}
    \psplot{-3.5}{3.}{4 3 div x mul 1 3 div add}
    %\rput(-1.5,-2.5){$N$}
  \end{pspicture}
\]
\bgen[a.]
  \item $\V{AM}(a+1;b+1)$; $\V{BQ}(1;b)$ et $\V{CP}(a;1)$.
 
  \item Les vecteurs $\V{AM}$ et $\V{BQ}$ sont colin\'eaires 
    si et seulement si: 
    \[(a+1)\tm b-(b+1)\tm1=0
    \iff 
    ab +b -b -1 =0 
    \iff 
    ab=1
    \]
    De m\^eme, les vecteurs $\V{BQ}$ et $\V{CP}$ sont colin\'eaires si et
    seulement si: 
    \[
    1\tm 1-b\tm a=0 \iff ab=1
    \]
    Finalement, ces tois vecteurs sont colin\'eaires si et seulement si  
    $ab=1$. 
  \item $M(a;b)\in\mathcal{C}\iff b=\dfrac{1}{a} \iff ab=1$. 
    On en d\'eduit donc que lorsque $M$ est un point de $\mathcal{C}$,
    les vecteurs $\V{AM}$, $\V{BQ}$ et $\V{CP}$ sont colin\'eaires, et
    donc que les droites $(BQ)$, $(AM)$ et $CP)$ sont parall\`eles. 
  \enen

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

Haut de la page Haut de la page