Source Latex
de la correction du devoir
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% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr %
% %
% Genere le: %
% mercredi 22 novembre 2017 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: polynomes et équations de droites},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, 1èreS, 1S, première S,
devoir, DS, DM,
équation de droite, équation réduite, équation cartésienne,
vecteurs colinéaires,
second degré, 2nd degré, polynome, polynôme,
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\begin{document}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Correction du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgit
\item[1)] Soit $Q(x)=ax^2+bx+c$, alors on a:
$P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$, d'o\`u on d\'eduit que
$\la\bgar{l} a=3\\ a+b=-7\\ b+c=-7 \\ c=3\enar\right.$,
soit donc,
$a=3$, $b=-10$ et $c=3$. \vspd
Ainsi, $P(x)=(x+1)(3x^2-10x+3)$.
Le discriminant de $Q(x)$ est
$\Delta=64$ et ses racines sont $x_1=\frac{1}{3}$ et $x_2=3$.
Les solutions de l'\'equation $P(x)=0$ sont donc:
\ul{$\mathcal{S}=\la -1;\frac{1}{3};3\ra$}.
\vspd
\item[2)]
On a $3x^2-12x+12=0 \iff 3(x-2)^2=0 \iff x=2$.
\`A l'aide de la factorisation obtenue au $1)$, on a
\[
\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$-1$& &$\frac{1}{3}$& &$2$& &$3$& &$+\infty$ \\\hline
$x+1$& &-& \zb&+& $|$ &+&$|$&+&$|$&+&\\\hline
$3x^2-10x+3$& &+& $|$&+& \zb &-&$|$&-&\zb&+&\\\hline
$3x^2-12x+12$& &+& $|$&+& $|$ &+&\zb&+&$|$&+& \\\hline
$f(x)$& &-& \zb&+& \zb &-&\db&-&\zb&+& \\\hline
\end{tabular}
\]
Les solutions sont
$\mathcal{S}=[-1;\frac{1}{3}]\cup[3;+\infty[$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $f(x)=x^2+mx+m$, o\`u $m$ d\'esigne un nombre r\'eel.
\bgen
\item $f(1)=1^2+m+m=1+2m=0 \iff m=-\dfrac12$.
\item $f$ admet deux racines distinctes si et seulement si
$\Delta>0$,
soit
$\Delta=m^2-4m>0$.
$\Delta$ est un trin\^ome du second degr\'e qui a pour racines \'evidentes
$0$ et $4$, et qui est positif \`a l'ext\'erieur de ses racines.
Ainsi,
$f$ admet 2 racines $\iff\Delta>0\iff m\in]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$.
\item $f(x)>1\iff x^2+mx+(m-1)>0$.
Ce trin\^ome est toujours positif (ne change jamais de signe, et en
particulier ne s'annule jamais)
si $\Delta=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2<0$,
ce qui est impossible, un carr\'e \'etant toujours positif ou nul.
Ainsi, il n'existe pas de valeur de $m$ telle que
$f(x)>1$ pour tout r\'eel $x$.
\enen
\enex
\bgex
Soit, dans un repère du plan, les points
$A(2;3)$, $B(6;1)$, $C(5;-9)$ et $D(-2;-5)$.
\bgen
\item Soit $M(x;y)\in(AB)$,
alors $\V{AB}$ et $\V{AM}$ sont colinéaires.
On a $\V{AB}(4;-2)$ et $\V{AM}(x-2;y-3)$,
d'où l'équation de $(AB)$:
$4(y-3)-(-2)(x-2)=0\iff 2x+4y-16=0$.
\item $d//(AB)$ donc $\V{AB}$ est aussi un vecteur directeur de $d$
et donc une équation cartésienne de $d$ est de la forme
$2x+4y+c=0$.
Comme $C(5;-9)\in d$ on a aussi $2\tm5+4\tm(-9)+c=0\iff c=26$,
et ainsi,
$d: 2x+4y+26=0$.
Comme $D(-2;-5)$ et $2\tm(-2)+4\tm(-5)+26=2\not=0$,
on a $D\notin d$.
\enen
\enex
\bgex
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4.5)(5,3.1)
\psline{->}(-4.2,0)(4.2,0)
\psline{->}(0,-4.2)(0,4.2)
\multido{\i=-4+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
%\rput(\i,-0.25){$\i$}
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
%\rput(-0.25,\i){$\i$}
}
\psplot{-4}{-0.25}{1 x div}
\psplot{0.25}{4}{1 x div}
\rput(-1,-1){\large$\tm$}\rput(-0.7,-0.9){$A$}
\rput(-1,0){\large$\tm$}\rput(-1,0.3){$B$}
\rput(0,-1){\large$\tm$}\rput(0.3,-1){$C$}
%
\rput(2,3){$\tm$}\rput(2.8,3.){$M(a;b)$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3)(0,3)
\rput(2,-0.25){$a$}\rput(2,0){\large$\tm$}\rput(1.7,0.2){$P$}
\rput(-0.3,3){$b$}\rput(0,3){\large$\tm$}\rput(0.2,2.7){$Q$}
\psplot{-4}{4}{0.5 x mul -1 add}
\psplot{-2.4}{0.6}{3 x mul 3 add}
\psplot{-3.5}{3.}{4 3 div x mul 1 3 div add}
%\rput(-1.5,-2.5){$N$}
\end{pspicture}
\]
\bgen[a.]
\item $\V{AM}(a+1;b+1)$; $\V{BQ}(1;b)$ et $\V{CP}(a;1)$.
\item Les vecteurs $\V{AM}$ et $\V{BQ}$ sont colin\'eaires
si et seulement si:
\[(a+1)\tm b-(b+1)\tm1=0
\iff
ab +b -b -1 =0
\iff
ab=1
\]
De m\^eme, les vecteurs $\V{BQ}$ et $\V{CP}$ sont colin\'eaires si et
seulement si:
\[
1\tm 1-b\tm a=0 \iff ab=1
\]
Finalement, ces tois vecteurs sont colin\'eaires si et seulement si
$ab=1$.
\item $M(a;b)\in\mathcal{C}\iff b=\dfrac{1}{a} \iff ab=1$.
On en d\'eduit donc que lorsque $M$ est un point de $\mathcal{C}$,
les vecteurs $\V{AM}$, $\V{BQ}$ et $\V{CP}$ sont colin\'eaires, et
donc que les droites $(BQ)$, $(AM)$ et $CP)$ sont parall\`eles.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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