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sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: dérivée},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={dérivée, fonction dérivée, nombre dérivé, mathématiques, 1èreS, 1S, première S,
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\newcommand{\ct}{\centerline}
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\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par
l'expression
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$.
\medskip
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$
(pr\'eciser les valeurs exactes des \'eventuels minimums et maximums).
\enex
\bgex
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives
des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R^*$ par
$f(x)=\dfrac1x$ et $g(x)=-x+2$.
\'Etudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\enex
\bgex
$a$ d\'esigne un nombre r\'eel.
$f$ est la fonction d\'efinie sur $\R$ par:
$f(x)=ax^3+x^2+x+1$.
\bgen
\item On suppose $a=0$.
D\'eterminer les variations de $f$.
\item On suppose maintenant $a\not=0$.
\bgen[a)]
\item Pour tout nombre $x$, calculer $f'(x)$.
\item Pour quelles valeurs de $a$, la fonction $f$ est-elle
croissante sur $\R$ ?
\enen
\enen
\enex
\bgex
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par
l'expression $\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere
$(O;\vec{i},\vec{j})$.
\vspd
\bgit
\item[A.]{\it Etude d'une fonction auxiliaire.}
On pose $g(x)=x^3-3x-4$.
\bgen
\item Etudier le sens de variation de $g$.
\item Montrer que l'\'equation $g(x)=0$ admet une unique solution,
que l'on notera $\alpha$, dans l'intervalle~$[1;3]$.
\item Donner un encadrement de $\alpha$ \`a 0,1 pr\`es.
\item En d\'eduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\enen
\vspt
\item[B.] {\it Etude des variations de $f$.}
Calculer $f'(x)$, et montrer que $\dsp
f'(x)=\frac{xg(x)}{(x^2-1)^2}$.
En d\'eduire le tableau de variation de $f$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+1$ et
$\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal du
plan.
\bgen
\item Prouver que la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point $M$ de
d'abscisse $a$, a pour \'equation
$y=2(a+1)x-a^2+1$
\item D\'eterminer les \'equations r\'eduites des tangentes \`a $\mathcal{C}$
passant par le point $A(0;-1)$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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