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Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: dérivée des fonctions, calculs de fonctions dérivées et sens de variation
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, dérivation, dérivée, sens de variation, tangente à la courbe représentative d'une fonction, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: dérivée},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={dérivée, fonction dérivée, nombre dérivé, mathématiques, 1èreS, 1S, première S, 
    }
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par
l'expression 
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$. 

\medskip
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$  
(pr\'eciser les valeurs exactes des \'eventuels minimums et maximums). 
\enex


\bgex
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives 
des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R^*$ par 
$f(x)=\dfrac1x$ et $g(x)=-x+2$. 
\'Etudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. 
\enex

\bgex
$a$ d\'esigne un nombre r\'eel. 

$f$ est la fonction d\'efinie sur $\R$ par: 
$f(x)=ax^3+x^2+x+1$. 

\bgen
\item On suppose $a=0$. 
  D\'eterminer les variations de $f$. 
\item On suppose maintenant $a\not=0$. 
  \bgen[a)] 
  \item Pour tout nombre $x$, calculer $f'(x)$. 
  \item Pour quelles valeurs de $a$, la fonction $f$ est-elle
    croissante sur $\R$ ?
  \enen
\enen

\enex


\bgex
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par
l'expression $\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$. 

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere
$(O;\vec{i},\vec{j})$. 

\vspd
\bgit
\item[A.]{\it Etude d'une fonction auxiliaire.}

  On pose $g(x)=x^3-3x-4$. 

  \bgen
  \item Etudier le sens de variation de $g$.
  \item Montrer que l'\'equation $g(x)=0$ admet une unique solution, 
    que l'on notera $\alpha$, dans l'intervalle~$[1;3]$.
  \item Donner un encadrement de $\alpha$ \`a 0,1 pr\`es. 
  \item En d\'eduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. 
  \enen

  \vspt
\item[B.] {\it Etude des variations de $f$.}

  Calculer $f'(x)$, et montrer que $\dsp
  f'(x)=\frac{xg(x)}{(x^2-1)^2}$. 
  En d\'eduire le tableau de variation de $f$.

\enit

\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+1$ et 
$\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal du
plan. 

\bgen
\item Prouver que la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point $M$ de
  d'abscisse $a$, a pour \'equation 
  $y=2(a+1)x-a^2+1$
\item D\'eterminer les \'equations r\'eduites des tangentes \`a $\mathcal{C}$
  passant par le point $A(0;-1)$. 
\enen

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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