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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: dérivée des fonctions, calculs de fonctions dérivées et sens de variation
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, dérivation, dérivée, sens de variation, tangente à la courbe représentative d'une fonction, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: dérivée},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={dérivée, fonction dérivée, nombre dérivé, mathématiques, 1èreS, 1S, première S, 
    }
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
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\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$ est de la forme  
$f=\dfrac{u}{v}$ avec 
$\la\bgar{ll}
u(x)&=x^2+3 \\
v(x)&=4x+1
\enar\right.$
soit
$\la\bgar{ll}
u'(x)&=2x \\
v'(x)&=4
\enar\right.$ 

\vsp
On a donc, 
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
soit 
$f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2}
=\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2}
$

\vsp
Le trin\^ome du num\'erateur a pour discriminant: 
$\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$, et admet donc deux racines 
$x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$ 
et 
$x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$ . 

\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm}
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline
$4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline
$(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb &$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\db &$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} 
&\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline
\end{tabular}
\bgar{ll}
\bullet\ 
f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm]
\bullet\ 
f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1}
=\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7}
=\dfrac34\\
\enar
\]
\enex

\bgex
$f(x)-g(x)=\dfrac1x-(-x+2)
=\dfrac{x^2-2x+1}{x}
=\dfrac{(x-1)^2}{x}$. 

Comme pour tout réel $x$, $(x-1)^2\geqslant0$, on a: 
\bgit
\item $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur 
  $]-\infty;0[$ 
\item $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur 
  $]0;1[\cup]1;+\infty[$
\item $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point 
  d'abscisse 1. 
\enit
\enex

\bgex
\bgen
\item On suppose $a=0$, et on a donc $f(x)=x^2+x+1$. 
  Pour tout $x$ r\'eel, $f'(x)=2x+1$. 
  Ainsi, $f$ est d\'ecroissante sur $]-\infty;-\frac{1}{2}]$ 
  et croissante sur $[-\frac{1}{2};+\infty[$.

\item On suppose maintenant $a\not=0$. 
  \bgen[a)] 
  \item Pour tout nombre $x$, $f'(x)=3ax^2+2x+1$.

  \item     Le discriminant du trin\^ome $f'(x)$ est $\Delta=4-12a$. 

    $f$ est croissante sur $\R$ si et seulement si sa d\'eriv\'ee $f'$
    est toujours positive sur $\R$, et donc si et seulement si 
    $a>0$ et $\Delta\leqslant0$. 

    \medskip
    $\Delta=4-12a\leqslant0\iff a\geqslant\dfrac13$. 
    $f$ est donc croissante sur $\R$ si et seulement si
    $a\geqslant\dfrac13$. 
  \enen
\enen

\enex


\bgex
\bgit
\item[A.]{\it Etude d'une fonction auxiliaire.}
  On pose $g(x)=x^3-3x-4$. 

  \bgen
  \item Pour tout $x$ r\'eel, $g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)3(x-1)(x+1)$. 
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
    $x^2-1$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    &&&$-2$&&&&\\
    $g(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} &&
    \LARGE{$\nearrow$} & \\
    &&&&&$-6$&&\\\hline
    \end{tabular}\]

  \item La fonction $g$ est d\'erivable, strictement croissante sur
    l'intervalle $[1;3]$, avec $g(1)=-6<0$ et $g(3)=14>0$. 

    D'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe donc une
    unique solution $\alpha$ \`a l'\'equation $g(x)=0$ sur l'intervalle
    $[1;3]$. 

    \vsp
    De plus, sur $]-\infty;\alpha[$, on a $g(x)<0$ 
    et sur $]\alpha;+\infty[$, on a $g(x)>0$. 
    Ainsi, il ne peut pas y avoir d'autre solution sur $\R$ \`a
    l'\'equation $g(x)=0$. 

  \item On a de plus, $g(2,1)\simeq -1,03<0$ et $g(2,2)\simeq 0,05>0$, 
    d'o\`u on en d\'eduit l'encadrement $2,1<\alpha<2,2$.

  \item On en d\'eduit le tableau de signe de $g(x)$: 
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $\alpha$  && $+\infty$ \\\hline
    $g(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    \end{tabular}\]
  \enen

  \vspt
\item[B.] {\it Etude des variations de $f$.}
  Pour tout $x\in\R\setminus\la-1;1\ra$, 
  \[
  f'(x)
  =\dfrac{\lp3x^2+4x\rp\lp x^2-1\rp-\lp x^3+2x^2\rp\lp2x\rp}{(x^2-1)^2}
  =\dfrac{x^4-3x^2-4x}{(x^2-1)^2}
  =\dfrac{x\lp x^3-3x-4\rp}{(x^2-1)^2}
  =\dfrac{xg(x)}{(x^2-1)^2}
  \]
  On en d\'eduit la tableau de variation: 
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $0$ && $1$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
    $x$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
    $g(x)$ && $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
    $(x^2-1)^2$ && $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $f'(x)$ && $+$ & \db & $+$ & \zb & $-$ & \db & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    &&&&&$0$&&&&&&\\
    $f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} &
    \psline(0,-0.65)(0,1)\,\psline(0,-0.65)(0,1)& 
    \LARGE{$\nearrow$} &&
    \LARGE{$\searrow$} &\psline(0,-0.65)(0,1)\,\psline(0,-0.65)(0,1)&
    \LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$} &\\
    &&&&&&&&&$f(\alpha)$&&\\\hline
    \end{tabular}\]
  
\enit

\enex


\bgex
\bgen
\item La tangente au point $M$ de $\mathcal{C}$ d'avscisse $a$ admet
  pour \'equation: 
  $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. 

  On a $f(a)=a^2+2a+1$, 
  et comme pour tout $x$ r\'eel, $f'(x)=2x+2$, 
  soit $f'(a)=2a+2=2(a+1)$. 

  Ainsi, l'\'equation de la tangente est: 
  \[\bgar{ll}
  y
  &=2(a+1)(x-a)+\lp a^2+2a+1\rp \vspd\\
  &=2(a+1)x-2a(a+1)+a^2+2a+1 \vspd\\
  &=2(a+1)x-a^2+1
  \enar
  \]

\item Les tangentes passant par $A(0;-1)$ v\'erifient donc, 
  \[-1=2(a+1)\tm0-a^2+1
  \iff 
  a^2=2 
  \iff a=-\sqrt{2}\text{ ou } a=\sqrt{2}
  \]

  Ainsi les deux \'equations des tangentes sont: 
  \[
  y=2(-\sqrt{2}+1)x-1 
  \quad\text{et}\quad
  y=2(\sqrt{2}+1)x-1 
  \]

  \[
  \psset{arrowsize=7pt,xunit=1cm,yunit=0.4}
  \begin{pspicture}(-4,-4)(4,13)
    \psline{->}(-4,0)(3,0)
    \psline{->}(0,-4)(0,15)
    \psplot{-4}{2.8}{x 2 exp 2 x mul add 1 add}
    \rput(-3.8,6){$\mathcal{C}$}
    \rput(0,-1){$\tm$}\rput(-0.3,-1){$A$}
    \psplot{-3.5}{2.8}{-1 2 0.5 exp mul 1 add 2 mul x mul 1 sub}
    \psplot{-0.7}{3.2}{2 0.5 exp 1 add 2 mul x mul 1 sub}
  \end{pspicture}
  \]
\enen

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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