Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: dérivée},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={dérivée, fonction dérivée, nombre dérivé, mathématiques, 1èreS, 1S, première S,
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$ est de la forme
$f=\dfrac{u}{v}$ avec
$\la\bgar{ll}
u(x)&=x^2+3 \\
v(x)&=4x+1
\enar\right.$
soit
$\la\bgar{ll}
u'(x)&=2x \\
v'(x)&=4
\enar\right.$
\vsp
On a donc,
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit
$f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2}
=\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2}
$
\vsp
Le trin\^ome du num\'erateur a pour discriminant:
$\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$, et admet donc deux racines
$x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$
et
$x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$ .
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm}
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline
$4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline
$(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb &$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\db &$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$}
&\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline
\end{tabular}
\bgar{ll}
\bullet\
f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm]
\bullet\
f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1}
=\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7}
=\dfrac34\\
\enar
\]
\enex
\bgex
$f(x)-g(x)=\dfrac1x-(-x+2)
=\dfrac{x^2-2x+1}{x}
=\dfrac{(x-1)^2}{x}$.
Comme pour tout réel $x$, $(x-1)^2\geqslant0$, on a:
\bgit
\item $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur
$]-\infty;0[$
\item $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur
$]0;1[\cup]1;+\infty[$
\item $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point
d'abscisse 1.
\enit
\enex
\bgex
\bgen
\item On suppose $a=0$, et on a donc $f(x)=x^2+x+1$.
Pour tout $x$ r\'eel, $f'(x)=2x+1$.
Ainsi, $f$ est d\'ecroissante sur $]-\infty;-\frac{1}{2}]$
et croissante sur $[-\frac{1}{2};+\infty[$.
\item On suppose maintenant $a\not=0$.
\bgen[a)]
\item Pour tout nombre $x$, $f'(x)=3ax^2+2x+1$.
\item Le discriminant du trin\^ome $f'(x)$ est $\Delta=4-12a$.
$f$ est croissante sur $\R$ si et seulement si sa d\'eriv\'ee $f'$
est toujours positive sur $\R$, et donc si et seulement si
$a>0$ et $\Delta\leqslant0$.
\medskip
$\Delta=4-12a\leqslant0\iff a\geqslant\dfrac13$.
$f$ est donc croissante sur $\R$ si et seulement si
$a\geqslant\dfrac13$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgit
\item[A.]{\it Etude d'une fonction auxiliaire.}
On pose $g(x)=x^3-3x-4$.
\bgen
\item Pour tout $x$ r\'eel, $g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)3(x-1)(x+1)$.
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$x^2-1$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&&&$-2$&&&&\\
$g(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} &&
\LARGE{$\nearrow$} & \\
&&&&&$-6$&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item La fonction $g$ est d\'erivable, strictement croissante sur
l'intervalle $[1;3]$, avec $g(1)=-6<0$ et $g(3)=14>0$.
D'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe donc une
unique solution $\alpha$ \`a l'\'equation $g(x)=0$ sur l'intervalle
$[1;3]$.
\vsp
De plus, sur $]-\infty;\alpha[$, on a $g(x)<0$
et sur $]\alpha;+\infty[$, on a $g(x)>0$.
Ainsi, il ne peut pas y avoir d'autre solution sur $\R$ \`a
l'\'equation $g(x)=0$.
\item On a de plus, $g(2,1)\simeq -1,03<0$ et $g(2,2)\simeq 0,05>0$,
d'o\`u on en d\'eduit l'encadrement $2,1<\alpha<2,2$.
\item On en d\'eduit le tableau de signe de $g(x)$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
$g(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\vspt
\item[B.] {\it Etude des variations de $f$.}
Pour tout $x\in\R\setminus\la-1;1\ra$,
\[
f'(x)
=\dfrac{\lp3x^2+4x\rp\lp x^2-1\rp-\lp x^3+2x^2\rp\lp2x\rp}{(x^2-1)^2}
=\dfrac{x^4-3x^2-4x}{(x^2-1)^2}
=\dfrac{x\lp x^3-3x-4\rp}{(x^2-1)^2}
=\dfrac{xg(x)}{(x^2-1)^2}
\]
On en d\'eduit la tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $0$ && $1$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
$x$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$g(x)$ && $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
$(x^2-1)^2$ && $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \db & $+$ & \zb & $-$ & \db & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&&&&&$0$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} &
\psline(0,-0.65)(0,1)\,\psline(0,-0.65)(0,1)&
\LARGE{$\nearrow$} &&
\LARGE{$\searrow$} &\psline(0,-0.65)(0,1)\,\psline(0,-0.65)(0,1)&
\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$} &\\
&&&&&&&&&$f(\alpha)$&&\\\hline
\end{tabular}\]
\enit
\enex
\bgex
\bgen
\item La tangente au point $M$ de $\mathcal{C}$ d'avscisse $a$ admet
pour \'equation:
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
On a $f(a)=a^2+2a+1$,
et comme pour tout $x$ r\'eel, $f'(x)=2x+2$,
soit $f'(a)=2a+2=2(a+1)$.
Ainsi, l'\'equation de la tangente est:
\[\bgar{ll}
y
&=2(a+1)(x-a)+\lp a^2+2a+1\rp \vspd\\
&=2(a+1)x-2a(a+1)+a^2+2a+1 \vspd\\
&=2(a+1)x-a^2+1
\enar
\]
\item Les tangentes passant par $A(0;-1)$ v\'erifient donc,
\[-1=2(a+1)\tm0-a^2+1
\iff
a^2=2
\iff a=-\sqrt{2}\text{ ou } a=\sqrt{2}
\]
Ainsi les deux \'equations des tangentes sont:
\[
y=2(-\sqrt{2}+1)x-1
\quad\text{et}\quad
y=2(\sqrt{2}+1)x-1
\]
\[
\psset{arrowsize=7pt,xunit=1cm,yunit=0.4}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,13)
\psline{->}(-4,0)(3,0)
\psline{->}(0,-4)(0,15)
\psplot{-4}{2.8}{x 2 exp 2 x mul add 1 add}
\rput(-3.8,6){$\mathcal{C}$}
\rput(0,-1){$\tm$}\rput(-0.3,-1){$A$}
\psplot{-3.5}{2.8}{-1 2 0.5 exp mul 1 add 2 mul x mul 1 sub}
\psplot{-0.7}{3.2}{2 0.5 exp 1 add 2 mul x mul 1 sub}
\end{pspicture}
\]
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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