Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: généralités sur les fonctions, opérations et sens de variation},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={fonction, étude de fonction, opérations sur les fonctions, sens de variation, intersection de courbes, mathématiques, 1èreS, 1S, première S}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item Pour tout $x\not=-1$,
$2-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2(x+1)-3}{x+1}=\dfrac{2x-1}{x+1}=f(x)$.
\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $\mathcal{D}_f=\R\setminus\la -1\ra$.
Soit la fonction affine $u:x\mapsto x+1$.
\[
\begin{tabular}{|c|cccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $+\infty$& \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$u$} &&
\psline{->}(-0.8,0)(0.6,0.3)&
\rput(0.1,0.3){$0$}&&
\psline{->}(-1.1,0.3)(0.3,0.6)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dfrac{1}{u}$}&&
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.6,0.)&
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.6,0.)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$-3\tm\dfrac{1}{u}$}&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$f=-3\tm\dfrac{1}{u}+2$}&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\\\hline
\end{tabular}
\]
La fonction $f$ est donc croissante sur
$]-\infty;-1[$ et sur $]-1;+\infty[$.
\enen
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] La fonction $-2u$ a un sens de variation contraire \`a celui
de $u$, puis $f=-2u+1$ a le m\^eme sens de variation que $-2u$:
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $0$ && $1$ && $2$ &&$+\infty$ \\\hline
&&&$2$&&&&\\
$-2u$ && \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.4)
&&\psline{->}(-0.3,0.5)(0.3,0.2)&0&
\psline{->}(-0.3,0.)(0.3,-0.3)&\\
&0&&&&&&\\\hline
&&&$3$&&&&\\
$f=-2u+1$ && \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.4)
&&\psline{->}(-0.3,0.5)(0.3,0.2)&1&
\psline{->}(-0.3,0.)(0.3,-0.3)&\\
&1&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\]
\item[b)] La fonction $g=\dfrac{1}{u}$ est d\'efinie lorsque
$u(x)\not=0$, donc pour $x\in]0\,;\,2[\cup]2\,;\,+\infty[$, et a sur
cet intervalle, un sens de variation contraire \`a celui de $u$:
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $0$ && $1$ && $2$ &&$+\infty$ \\\hline
&&&$-1$&&&&\\
$\dfrac{1}{u}$ &
\psline(0,-0.6)(0,0.8)\psline(-0.08,-0.6)(-0.08,0.8)
& \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.5)
&&\psline{->}(-0.3,0.6)(0.3,0.2)&
\psline(0,-0.6)(0,0.8)\psline(0.08,-0.6)(0.08,0.8)
&
\psline{->}(-0.1,0.)(0.5,-0.4)&
\\
&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\]
\enit
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=-2x^2+18$.
\bgen
\item Soit $u:x\mapsto x^2$ la fonction carré,
alors $f=-2u+18$ et donc
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 0 && $+\infty$\\\hline
&&&&&\\
$u$ &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}& \\
&&&0&&\\\hline
&&&0&&\\
$-2u$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \\
&&&&&\\\hline
&&&18&&\\
$f=-2u+18$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item On a $g=\sqrt{f}$ et
$-2x^2+18=0\iff x^2=9\iff\Bigl(x=-3 \text{ ou } x=3\Bigr)$
et donc, d'après ce qui précède,
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-3$ && 0 && $3$ && $+\infty$\\\hline
&&&&&18&&&&\\
$f=-2u+18$ &&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,-.2)(1.5,.5)&0&
&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,.5)(1.5,-.2)
&0&&\\
&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&$\sqrt{18}$&&&&\\
$g=\sqrt{f}$ &&&&
&&&&&\\
&&&0\psline[arrowsize=7pt]{->}(.1,.2)(1.,1)&&&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.9,1)(0,.2)0&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item $g(-1)=\sqrt{16}=4=g(1)$ et donc,
lorsque $x\in[-1;1]$ on a
$4\leqslant g(x)\leqslant \sqrt{18}$.
\enen
\enex
\bgex
On a
$\left| 2x-1\right|=
\la\bgar{l}
2x-1 \ \text{ si } 2x-1\geqslant0\iff x\geqslant\dfrac12 \\
-(2x-1) \ \text{ si } 2x-1<\iff x<\dfrac12 \enar\right.$
Ainsi,
\bgen[$\bullet$]
\item si $x\geqslant\dfrac12$, l'équation s'écrit
$2x-1=5\iff x=3$, et on a bien $x=3\geqslant\dfrac12$.
\item si $x<\dfrac12$, l'équation s'écrit
$-(2x-1)=5\iff x=-2$, et on a bien $x=-2<\dfrac12$.
\enen
L'équation admet donc deux solutions,
$-2$ et $3$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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