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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques en 1ère S: généralités sur les fonctions, opérations sur les fonctions et sens de variation
Niveau
Première S
Mots clé
fonction, étude de fonction, opérations sur les fonctions, sens de variation, intersection de courbes, mathématiques, 1èreS, 1S, première S
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: généralités sur les fonctions, opérations et sens de variation},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={fonction, étude de fonction, opérations sur les fonctions, sens de variation, intersection de courbes, mathématiques, 1èreS, 1S, première S}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
\bgen

\item Pour tout $x\not=-1$, 
  $2-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2(x+1)-3}{x+1}=\dfrac{2x-1}{x+1}=f(x)$.

\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $\mathcal{D}_f=\R\setminus\la -1\ra$. 

  Soit la fonction affine $u:x\mapsto x+1$.
\[
\begin{tabular}{|c|cccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $+\infty$& \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$u$} && 
\psline{->}(-0.8,0)(0.6,0.3)&
\rput(0.1,0.3){$0$}&&
\psline{->}(-1.1,0.3)(0.3,0.6)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dfrac{1}{u}$}&&
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.6,0.)&
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.6,0.)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$-3\tm\dfrac{1}{u}$}&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$f=-3\tm\dfrac{1}{u}+2$}&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\\\hline
\end{tabular}
\]

La fonction $f$ est donc croissante sur 
$]-\infty;-1[$ et sur $]-1;+\infty[$. 
\enen
\enex




\bgex
\bgit
\item[a)] La fonction $-2u$ a un sens de variation contraire \`a celui
  de $u$, puis $f=-2u+1$ a le m\^eme sens de variation que $-2u$: 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $0$ && $1$ && $2$ &&$+\infty$ \\\hline
    &&&$2$&&&&\\
    $-2u$ && \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.4)
    &&\psline{->}(-0.3,0.5)(0.3,0.2)&0&
    \psline{->}(-0.3,0.)(0.3,-0.3)&\\
    &0&&&&&&\\\hline
    &&&$3$&&&&\\
    $f=-2u+1$ && \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.4)
    &&\psline{->}(-0.3,0.5)(0.3,0.2)&1&
    \psline{->}(-0.3,0.)(0.3,-0.3)&\\
    &1&&&&&&\\\hline
  \end{tabular}
  \]

\item[b)] La fonction $g=\dfrac{1}{u}$ est d\'efinie lorsque
  $u(x)\not=0$, donc pour $x\in]0\,;\,2[\cup]2\,;\,+\infty[$, et a sur
  cet intervalle, un sens de variation contraire \`a celui de $u$: 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $0$ && $1$ && $2$ &&$+\infty$ \\\hline
    &&&$-1$&&&&\\
    $\dfrac{1}{u}$ &
    \psline(0,-0.6)(0,0.8)\psline(-0.08,-0.6)(-0.08,0.8)
& \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.5)
    &&\psline{->}(-0.3,0.6)(0.3,0.2)&
    \psline(0,-0.6)(0,0.8)\psline(0.08,-0.6)(0.08,0.8)
    &
    \psline{->}(-0.1,0.)(0.5,-0.4)&
    \\
    &&&&&&&\\\hline
  \end{tabular}
  \]
\enit
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=-2x^2+18$. 

\bgen
\item Soit $u:x\mapsto x^2$ la fonction carré, 
  alors $f=-2u+18$ et donc 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && 0 && $+\infty$\\\hline
  &&&&&\\
  $u$ &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}& \\
  &&&0&&\\\hline
  &&&0&&\\
  $-2u$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \\
  &&&&&\\\hline
  &&&18&&\\
  $f=-2u+18$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \\
  &&&&&\\\hline
  \end{tabular}\]
\item On a $g=\sqrt{f}$ et 
  $-2x^2+18=0\iff x^2=9\iff\Bigl(x=-3 \text{ ou } x=3\Bigr)$ 
  et donc, d'après ce qui précède, 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-3$ && 0 && $3$ && $+\infty$\\\hline
  &&&&&18&&&&\\
  $f=-2u+18$  &&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,-.2)(1.5,.5)&0&
  &&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,.5)(1.5,-.2)
  &0&&\\
  &&&&&&&&&\\\hline
  &&&&&$\sqrt{18}$&&&&\\
  $g=\sqrt{f}$  &&&&
  &&&&&\\
  &&&0\psline[arrowsize=7pt]{->}(.1,.2)(1.,1)&&&&
  \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.9,1)(0,.2)0&&\\\hline
  \end{tabular}\]
\item $g(-1)=\sqrt{16}=4=g(1)$ et donc, 
  lorsque $x\in[-1;1]$ on a 
  $4\leqslant g(x)\leqslant \sqrt{18}$.
\enen
\enex

\bgex
On a 
$\left| 2x-1\right|=
\la\bgar{l}
2x-1 \ \text{ si } 2x-1\geqslant0\iff x\geqslant\dfrac12 \\
-(2x-1) \ \text{ si } 2x-1<\iff x<\dfrac12 \enar\right.$

Ainsi, 
\bgen[$\bullet$] 
\item si $x\geqslant\dfrac12$, l'équation s'écrit 
  $2x-1=5\iff x=3$, et on a bien $x=3\geqslant\dfrac12$. 
\item si $x<\dfrac12$, l'équation s'écrit 
  $-(2x-1)=5\iff x=-2$, et on a bien $x=-2<\dfrac12$. 
\enen

L'équation admet donc deux solutions, 
$-2$ et $3$. 
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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