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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: généralités sur les fonctions
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, fonctions, fonctions associées, courbe représentative d'une fonction, composée de fonctions, valeur absolue, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={ROC},
    pdftitle={ROC},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1èreS, 1S, première S, 
      corrigé du devoir, correction, DS, fonctions,  
      fonctions associées, fonction associée, 
      sens de variation
    }
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}		% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}		% default=0pt (no line)
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\textheight=25cm
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\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit $f$ définit par $f(x)=\dfrac{4}{2x-5}+1$. 
\bgen
\item L'ensemble de définition de $f$ est 
  $\mathcal{D}_f=\Bigl\{ x\in\R,2x-5\not=0\Bigr\}=\R\setminus\la\dfrac52\ra$. 

  Soit de plus la fonction affine $u:x\mapsto 2x-5$, 
  alors $f=4\tm\dfrac{1}{u}+1$ et donc, 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $\frac52$ && $+\infty$ \\\hline
  $u$ &\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-.1)(3,.3)&&0&&\\\hline
  $\dfrac1u$ &&\Large{$\searrow$}&
  \psline(0,-.3)(0,.5)\psline(.1,-.3)(.1,.5)&\Large{$\searrow$}&\\\hline
  $4\tm\dfrac1u$ &&\Large{$\searrow$}&
  \psline(0,-.3)(0,.5)\psline(.1,-.3)(.1,.5)&\Large{$\searrow$}&\\\hline
  $f=4\tm\dfrac1u+1$ &&\Large{$\searrow$}&
  \psline(0,-.3)(0,.5)\psline(.1,-.3)(.1,.5)&\Large{$\searrow$}&\\\hline
  \end{tabular}\]

\item Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection 
  de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses, 
  alors $y=0=f(x)\iff \dfrac{4}{2x-5}+1=0
  \iff \dfrac{2x-1}{2x-5}=0$. 

  On trouve ainsi $2x-1=0\iff x=\dfrac12$: 
  il y a un unique point d'intersection $M\lp\dfrac12;0\rp$. 
\item Soit $N(x;y)$ un éventuel points d'intersection 
  de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des ordonnées, 
  alors $x=0$ et donc $y=f(0)=\dfrac{4}{-5}+1=\dfrac15$, 
  et ainsi $N\lp0;\dfrac15\rp$. 
\item 
  \[\psset{unit=.8cm,arrowsize=7pt}
  \begin{pspicture}(-4,-4)(8,5)
    \psline{->}(-4.2,0)(8,0)
    \psline{->}(0,-4)(0,5)
  \multido{\i=-4+1}{12}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)}
  \multido{\i=-4+1}{9}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)}
  \rput(1,-.3){1}\rput(-.2,1){1}\rput(-.2,-.25){0}
    \psplot{-4}{2.1}{4 2 x mul 5 sub div 1 add}
    \psplot{3}{8}{4 2 x mul 5 sub div 1 add}
    \psline(2.5,-4)(2.5,5)
    \rput(.5,-.3){$M$}
    \rput(-.2,.45){$N$}
  \end{pspicture}\]
\enen
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=-2x^2+18$. 

\bgen
\item Soit $u:x\mapsto x^2$ la fonction carré, 
  alors $f=-2u+18$ et donc 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && 0 && $+\infty$\\\hline
  &&&&&\\
  $u$ &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}& \\
  &&&0&&\\\hline
  &&&0&&\\
  $-2u$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \\
  &&&&&\\\hline
  &&&18&&\\
  $f=-2u+18$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \\
  &&&&&\\\hline
  \end{tabular}\]
\item On a $g=\sqrt{f}$ et 
  $-2x^2+18=0\iff x^2=9\iff\Bigl(x=-3 \text{ ou } x=3\Bigr)$ 
  et donc, d'après ce qui précède, 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-3$ && 0 && $3$ && $+\infty$\\\hline
  &&&&&18&&&&\\
  $f=-2u+18$  &&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,-.2)(1.5,.5)&0&
  &&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,.5)(1.5,-.2)
  &0&&\\
  &&&&&&&&&\\\hline
  &&&&&$\sqrt{18}$&&&&\\
  $g=\sqrt{f}$  &&&&
  &&&&&\\
  &&&0\psline[arrowsize=7pt]{->}(.1,.2)(1.,1)&&&&
  \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.9,1)(0,.2)0&&\\\hline
  \end{tabular}\]
\item $g(-1)=\sqrt{16}=4=g(1)$ et donc, 
  lorsque $x\in[-1;1]$ on a 
  $4\leqslant g(x)\leqslant \sqrt{18}$.
\enen
\enex


\bgex
$f(x)=u(v(x))=u(2x-1)=\dfrac{1}{(2x-1)^2-2}
=\dfrac{1}{4x^2-4x-1}$ 

et     
$g(x)=v(u(x))=v\lp\dfrac{1}{x^2-2}\rp=\dfrac{2}{x^2-2}-1$. 
\enex

\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=|2x-1|$. 
Tracer la courbe représentative de la fontion $f$ dans un repère 
orthonormal du plan. 

Lorsque $2x-1\geqslant 0\iff x\geqslant \dfrac12$, $f(x)=2x-1$ 
et lorsque $2-1\leqslant 0\leqslant \dfrac12$, $f(x)=-(2x-1)=-2x+1$. 

\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(4,4)
  \psline{->}(-2.3,0)(4,0)
  \psline{->}(0,-.5)(0,4)
  \multido{\i=-2+1}{6}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)}
  \multido{\i=0+1}{4}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)}
  \rput(1,-.3){1}\rput(-.2,1){1}\rput(-.2,-.25){0}
  \psplot{-1.5}{.5}{-2 x mul 1 add}
  \psplot{.5}{2}{2 x mul -1 add}
\end{pspicture}\]
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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