Source Latex
de la correction du devoir
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={ROC},
pdftitle={ROC},
pdfkeywords={Mathématiques, 1èreS, 1S, première S,
corrigé du devoir, correction, DS, fonctions,
fonctions associées, fonction associée,
sens de variation
}
}
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citecolor = blue,
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit $f$ définit par $f(x)=\dfrac{4}{2x-5}+1$.
\bgen
\item L'ensemble de définition de $f$ est
$\mathcal{D}_f=\Bigl\{ x\in\R,2x-5\not=0\Bigr\}=\R\setminus\la\dfrac52\ra$.
Soit de plus la fonction affine $u:x\mapsto 2x-5$,
alors $f=4\tm\dfrac{1}{u}+1$ et donc,
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\frac52$ && $+\infty$ \\\hline
$u$ &\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-.1)(3,.3)&&0&&\\\hline
$\dfrac1u$ &&\Large{$\searrow$}&
\psline(0,-.3)(0,.5)\psline(.1,-.3)(.1,.5)&\Large{$\searrow$}&\\\hline
$4\tm\dfrac1u$ &&\Large{$\searrow$}&
\psline(0,-.3)(0,.5)\psline(.1,-.3)(.1,.5)&\Large{$\searrow$}&\\\hline
$f=4\tm\dfrac1u+1$ &&\Large{$\searrow$}&
\psline(0,-.3)(0,.5)\psline(.1,-.3)(.1,.5)&\Large{$\searrow$}&\\\hline
\end{tabular}\]
\item Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection
de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses,
alors $y=0=f(x)\iff \dfrac{4}{2x-5}+1=0
\iff \dfrac{2x-1}{2x-5}=0$.
On trouve ainsi $2x-1=0\iff x=\dfrac12$:
il y a un unique point d'intersection $M\lp\dfrac12;0\rp$.
\item Soit $N(x;y)$ un éventuel points d'intersection
de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des ordonnées,
alors $x=0$ et donc $y=f(0)=\dfrac{4}{-5}+1=\dfrac15$,
et ainsi $N\lp0;\dfrac15\rp$.
\item
\[\psset{unit=.8cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-4,-4)(8,5)
\psline{->}(-4.2,0)(8,0)
\psline{->}(0,-4)(0,5)
\multido{\i=-4+1}{12}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)}
\multido{\i=-4+1}{9}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)}
\rput(1,-.3){1}\rput(-.2,1){1}\rput(-.2,-.25){0}
\psplot{-4}{2.1}{4 2 x mul 5 sub div 1 add}
\psplot{3}{8}{4 2 x mul 5 sub div 1 add}
\psline(2.5,-4)(2.5,5)
\rput(.5,-.3){$M$}
\rput(-.2,.45){$N$}
\end{pspicture}\]
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=-2x^2+18$.
\bgen
\item Soit $u:x\mapsto x^2$ la fonction carré,
alors $f=-2u+18$ et donc
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 0 && $+\infty$\\\hline
&&&&&\\
$u$ &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}& \\
&&&0&&\\\hline
&&&0&&\\
$-2u$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \\
&&&&&\\\hline
&&&18&&\\
$f=-2u+18$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item On a $g=\sqrt{f}$ et
$-2x^2+18=0\iff x^2=9\iff\Bigl(x=-3 \text{ ou } x=3\Bigr)$
et donc, d'après ce qui précède,
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-3$ && 0 && $3$ && $+\infty$\\\hline
&&&&&18&&&&\\
$f=-2u+18$ &&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,-.2)(1.5,.5)&0&
&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.2,.5)(1.5,-.2)
&0&&\\
&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&$\sqrt{18}$&&&&\\
$g=\sqrt{f}$ &&&&
&&&&&\\
&&&0\psline[arrowsize=7pt]{->}(.1,.2)(1.,1)&&&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.9,1)(0,.2)0&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item $g(-1)=\sqrt{16}=4=g(1)$ et donc,
lorsque $x\in[-1;1]$ on a
$4\leqslant g(x)\leqslant \sqrt{18}$.
\enen
\enex
\bgex
$f(x)=u(v(x))=u(2x-1)=\dfrac{1}{(2x-1)^2-2}
=\dfrac{1}{4x^2-4x-1}$
et
$g(x)=v(u(x))=v\lp\dfrac{1}{x^2-2}\rp=\dfrac{2}{x^2-2}-1$.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=|2x-1|$.
Tracer la courbe représentative de la fontion $f$ dans un repère
orthonormal du plan.
Lorsque $2x-1\geqslant 0\iff x\geqslant \dfrac12$, $f(x)=2x-1$
et lorsque $2-1\leqslant 0\leqslant \dfrac12$, $f(x)=-(2x-1)=-2x+1$.
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(4,4)
\psline{->}(-2.3,0)(4,0)
\psline{->}(0,-.5)(0,4)
\multido{\i=-2+1}{6}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)}
\multido{\i=0+1}{4}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)}
\rput(1,-.3){1}\rput(-.2,1){1}\rput(-.2,-.25){0}
\psplot{-1.5}{.5}{-2 x mul 1 add}
\psplot{.5}{2}{2 x mul -1 add}
\end{pspicture}\]
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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