@ccueil Colles

Source LaTeX icone DS-Geometrie-vecteurs-2nd-degre-c



Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir corrigé de mathématiques en 1ère S: géométrie vectorielle analytique, équations réduites et cartésiennes de droites
Niveau
Première S
Mots clé
géométrie, vecteurs, équation reduite de droite, éqution cartésienne de droite, second degré, inéquation, intersection de courbes, mathématiques, 1èreS, 1S, première S
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: généralités sur les fonctions, opérations et sens de variation},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={fonction, étude de fonction, opérations sur les fonctions, sens de variation, intersection de courbes, mathématiques, 1èreS, 1S, première S}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\bgen
\item $AB=\sqrt{(2+3)^2+(3-5)^2}=\sqrt{29}$ 
  et 
  $BC=\sqrt{(12-2)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$. 
\item $\V{AB}(5;-2)$ et $\V{AC}(15;-6)$. 
  Alors, comme $5\tm(-6)-(-2)\tm15=-30+30=0$, les vecteurs 
  $\V{AB}$ et $\V{AC}$ sont colin\'eaires, et donc les points $A$, $B$
  et $C$ sont align\'es. 
\item Soit $D(x;y)$. Comme $D$ est sur l'axe des abscisses, on a
  $y=0$, donc $D(x;0)$. 

  De plus, $D$, $A$ et $B$ sont align\'es, donc 
  $\V{AB}(5;-2)$ et $\V{AD}(x+3;-5)$, 
  sont colin\'eaires. 
  
  On doit donc avoir $5\tm(-5)-(-2)\tm(x+3)=0\iff x=\dfrac{19}{2}$. 
  D'o\`u $D\lp\dfrac{19}{2};0\rp$. 
\enen

\enex


\bgex
Soit $y$ l'ordonn\'ee du point $D$. Les coordonn\'ees de $D$
sont alors $D(10;y)$, et 
$\V{AB}(3;2)$, et $\V{CD}(9;y-6)$. 

\vsp
Les droites sont parall\`eles si et seulement si ces vecteurs sont
colin\'eaires, soit, si et seulement si 
$3\tm(y-6)=2\tm9$, soit $y=12$. 
\ul{L'ordonn\'ee du point $D$ est donc $y=12$}.

\enex


\bgex
\bgen
\item R\'eponse c). 
  La droite d'\'equation r\'eduite $y=\dfrac{2}{5}x+3$ s'\'ecrit sous
  forme cart\'esienne: $\dfrac{2}{5}x-y+3=0$, ou encore, 
  $2x-5y+15=0$. 

  Un vecteur directeur de cette droite est donc, 
  $\vec{u}(5;2)$

\item R\'eponse b). 
  La droite d'\'equation $3x+2y-5=0$ s'\'ecrit sous forme r\'eduite: 
  $y=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}$, et a donc pour coefficient
  directeur $m=-\dfrac{3}{2}$. 

\item R\'eponse a): Vrai. 
  Ces droites ont pour vecteurs directeurs respectifs: 
  $\vec{u}(-2;8)$ et $\vec{v}\lp-\dfrac{3}{4};3\rp$. 

  Or, $-2\tm3-8\tm\lp-\dfrac{3}{4}\rp=0$: ces deux vecteurs sont
  colin\'eaires, et on en d\'eduit donc que les droites sont parall\`eles. 
\enen

\enex


\bgex
$2+\dfrac{3}{x-4}\geqslant\dfrac{1}{2-x}
\iff
\dfrac{-2x^2+8x-6}{(x-4)(2-x)}\geqslant0
\iff 
\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}\geqslant0$.\\
Le trin\^ome du 2nd degr\'e au num\'erateur a un discriminant 
$\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines 
$x_1=1$ et $x_2=3$. 

Le trin\^ome du 2nd degr\'e du d\'enominateur a comme racines 
\'evidentes 2 et 4. 
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &4& &$+\infty$ 
\\\hline
$-x^2+4x-3$&   &-& \zb&+&      $|$    &+&\zb&$-$& $|$ &$-$&\\\hline
$(x-4)(2-x)$& &-& $|$ &-& \zb &+&$|$&+& \zb & -&\\\hline
$\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}$
& &+& \zb &-& \db &+&\zb&-& \db & +&\\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi, $\mathcal{S}=]-\infty;1]\cup]2;3]\cup]4;+\infty[$.

\enex


\bgex
Si $M(x;y)$ est un \'eventuel point d'intersection, 
alors $y=f(x)=g(x)$, soit donc l'\'equation 
$(E): 2x^2+mx=x^2+3x-m\iff x^2+(m-3)x+m=0$. 

Le discriminant de cette \'equation du second degr\'e est 
$\Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9$. 

On veut que $(E)$ ait une unique solution, 
donc que $\Delta=0$. 

$\Delta$ est expression du second degr\'e de discriminant 
$\delta=10^2-4\tm9=64=8^2>0$ et admet donc deux racines 
$m_1=1$ et $m_2=9$. 

Pour $m=1$, $(E)$ s'\'ecrit $x^2-2x+1=0\iff (x-1)^2=0$. 
Ainsi $x=1$ et $y=f(1)=g(1)=3$ 
et $M(1;3)$ est l'unique point d'intersection. 

Pour $m=9$, $(E)$ s'\'ecrit $x^2+6x+9=0\iff (x+3)^2=0$. 
Ainsi $x=-3$ et $y=f(-3)=g(-3)=-9$ 
et $M(-3;-9)$ est l'unique point d'intersection. 

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

Haut de la page Haut de la page