Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: généralités sur les fonctions, opérations et sens de variation},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={fonction, étude de fonction, opérations sur les fonctions, sens de variation, intersection de courbes, mathématiques, 1èreS, 1S, première S}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item $AB=\sqrt{(2+3)^2+(3-5)^2}=\sqrt{29}$
et
$BC=\sqrt{(12-2)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$.
\item $\V{AB}(5;-2)$ et $\V{AC}(15;-6)$.
Alors, comme $5\tm(-6)-(-2)\tm15=-30+30=0$, les vecteurs
$\V{AB}$ et $\V{AC}$ sont colin\'eaires, et donc les points $A$, $B$
et $C$ sont align\'es.
\item Soit $D(x;y)$. Comme $D$ est sur l'axe des abscisses, on a
$y=0$, donc $D(x;0)$.
De plus, $D$, $A$ et $B$ sont align\'es, donc
$\V{AB}(5;-2)$ et $\V{AD}(x+3;-5)$,
sont colin\'eaires.
On doit donc avoir $5\tm(-5)-(-2)\tm(x+3)=0\iff x=\dfrac{19}{2}$.
D'o\`u $D\lp\dfrac{19}{2};0\rp$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $y$ l'ordonn\'ee du point $D$. Les coordonn\'ees de $D$
sont alors $D(10;y)$, et
$\V{AB}(3;2)$, et $\V{CD}(9;y-6)$.
\vsp
Les droites sont parall\`eles si et seulement si ces vecteurs sont
colin\'eaires, soit, si et seulement si
$3\tm(y-6)=2\tm9$, soit $y=12$.
\ul{L'ordonn\'ee du point $D$ est donc $y=12$}.
\enex
\bgex
\bgen
\item R\'eponse c).
La droite d'\'equation r\'eduite $y=\dfrac{2}{5}x+3$ s'\'ecrit sous
forme cart\'esienne: $\dfrac{2}{5}x-y+3=0$, ou encore,
$2x-5y+15=0$.
Un vecteur directeur de cette droite est donc,
$\vec{u}(5;2)$
\item R\'eponse b).
La droite d'\'equation $3x+2y-5=0$ s'\'ecrit sous forme r\'eduite:
$y=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}$, et a donc pour coefficient
directeur $m=-\dfrac{3}{2}$.
\item R\'eponse a): Vrai.
Ces droites ont pour vecteurs directeurs respectifs:
$\vec{u}(-2;8)$ et $\vec{v}\lp-\dfrac{3}{4};3\rp$.
Or, $-2\tm3-8\tm\lp-\dfrac{3}{4}\rp=0$: ces deux vecteurs sont
colin\'eaires, et on en d\'eduit donc que les droites sont parall\`eles.
\enen
\enex
\bgex
$2+\dfrac{3}{x-4}\geqslant\dfrac{1}{2-x}
\iff
\dfrac{-2x^2+8x-6}{(x-4)(2-x)}\geqslant0
\iff
\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}\geqslant0$.\\
Le trin\^ome du 2nd degr\'e au num\'erateur a un discriminant
$\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines
$x_1=1$ et $x_2=3$.
Le trin\^ome du 2nd degr\'e du d\'enominateur a comme racines
\'evidentes 2 et 4.
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &4& &$+\infty$
\\\hline
$-x^2+4x-3$& &-& \zb&+& $|$ &+&\zb&$-$& $|$ &$-$&\\\hline
$(x-4)(2-x)$& &-& $|$ &-& \zb &+&$|$&+& \zb & -&\\\hline
$\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}$
& &+& \zb &-& \db &+&\zb&-& \db & +&\\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi, $\mathcal{S}=]-\infty;1]\cup]2;3]\cup]4;+\infty[$.
\enex
\bgex
Si $M(x;y)$ est un \'eventuel point d'intersection,
alors $y=f(x)=g(x)$, soit donc l'\'equation
$(E): 2x^2+mx=x^2+3x-m\iff x^2+(m-3)x+m=0$.
Le discriminant de cette \'equation du second degr\'e est
$\Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9$.
On veut que $(E)$ ait une unique solution,
donc que $\Delta=0$.
$\Delta$ est expression du second degr\'e de discriminant
$\delta=10^2-4\tm9=64=8^2>0$ et admet donc deux racines
$m_1=1$ et $m_2=9$.
Pour $m=1$, $(E)$ s'\'ecrit $x^2-2x+1=0\iff (x-1)^2=0$.
Ainsi $x=1$ et $y=f(1)=g(1)=3$
et $M(1;3)$ est l'unique point d'intersection.
Pour $m=9$, $(E)$ s'\'ecrit $x^2+6x+9=0\iff (x+3)^2=0$.
Ainsi $x=-3$ et $y=f(-3)=g(-3)=-9$
et $M(-3;-9)$ est l'unique point d'intersection.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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