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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé sur les dérivées de fonctions: calcul de dérivées, équations de tangentes, et étude du sens de variation de fonctions
Niveau
Première S
Mots clé
dérivée, nombre dérivé, tangente, équation de la tagente, étude du sens de variation, devoir corrigé de mathématiques, maths
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé de l'interrogation de mathématiques: calcul de la dérivée d'une fonction, équation de la tangente et étude du sens de variation},
    pdftitle={Correction de l'interrogation de mathématiques: dérivées},
    pdfkeywords={dérivée, nombre dérivé, tangente, sens de variation, 
      étude de fonction, S, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Correction de l'interrogation de math\'ematiques}}




\bgex
\bgen
\item On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec 
  $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$, 
  et $v(x)=x^2+3$ donc $v'(x)=2x$, 
  et alors 
  $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
  soit 
  $f'(x)=\dfrac{1\tm\lp x^2+1\rp-x\lp 2x\rp}{\lp x^2+1\rp^2}
  =\dfrac{-x^2+1}{\lp x^2+1\rp^2}$ 

  Le numérateur est un trin\^ome du second degré de racines évidentes 
  $-1$ et $1$ (d'ailleurs, c'est une identité remarquable, 
  $-x^2+1=-\lp x^2-1\rp=-(x+1)(x-1)$). 

  Le dénominateur est un carré ne s'annulant jamais, 
  car $x^2+1\geqslant1>0$ pour tout réel $x$, et donc tuojours 
  strictement positif. 

  On dresse alors le tableau de signe et variation: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
  $-x^2+1$ && $-$ & \zb & $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
  $-x^2+1$ && $+$ & $|$ & $+$ &$|$& $+$ & \\\hline
  $f'(x)$ && $-$ & \zb & $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
  &&&&&$\frac12$&&\\
  $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
  &&&$-\frac12$&&&&\\\hline
  \end{tabular}\]
\item L'équation réduite de la tangente en $a$ est 
  $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit, 
  \bgen[$\bullet$]
  \item en 0: $y=f'(0)x+f(0)=x$
  \item en 1: $y=f'(1)(x-1)+f(1)=\dfrac12$
  \enen
\enen
\enex

\bgex
On a $f=u+\dfrac{1}{v}$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$, 
et $v(x)=2x+1$, donc $v'(x)=2$, 
et alors 
$f'=u'-\dfrac{v'}{v^2}$, 
soit 
$f'(x)=2-\dfrac{2}{(2x+1)^2}
=\dfrac{2(2x+1)^2-2}{(2x+1)^2}
=\dfrac{8x^2+8x}{(2x+1)^2}
=\dfrac{8x(x+1)}{(2x+1)^2}$

Le numérateur est un trin\^ome du second degré de racines mises en évidence: 
0 et $-1$. 

Le dénominateur est un carré, nul en $x=-\dfrac12$ et strictement positif illeurs. 

On dresse ainsi le tableau de variation: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $-1/2$ && $0$ && $+\infty$ \\\hline
  $8x(x+1)$ && $+$ & \zb & $-$ &$|$& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
  $(2x+1)^2$ && $+$ & $|$ & $+$ &\zb& $+$ &$|$& $+$ & \\\hline
  $f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ && $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
  &&&$-3$&&&&&&\\
  $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&
  \psline(0,-.7)(0,1.5)\psline(0.08,-.7)(0.08,1.5)
  &\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
  &&&&&&&3&&\\\hline
  \end{tabular}\]
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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