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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Interrogation corrigée de mathématiques, première S: définition du nombre dérivé, calculs de fonctions dérivées et sens de variation
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, dérivation, dérivée, nombre dérivée, tangente à la courbe représentative d'une fonction, sens de variation, interrogation de cours, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: dérivée},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={dérivée, fonction dérivée, nombre dérivé, mathématiques, 1èreS, 1S, première S, 
    }
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Correction du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

\ct{\bf\LARGE{Correction de l'interrogation de math\'ematiques}}

\bgen
\item   
  \bgmp[t]{10.8cm}
  On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque 
  la limite du taux de variation $\tau(h)$: 
  \[ \tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
  \]
  lorsque $h$ tend vers 0 existe. 

  Cette limite est alors le nombre dérivé de $f$ 
  en $a$, noté $f'(a)$: 
  \[\lim_{h\to0}\tau(h)=f'(a)\]
  
  \medskip
  Le taux de variation $\tau(h)$ est le coefficient directeur de la sécante 
  $(AM)$. 
  \enmp\hfill
  \bgmp[t]{7.5cm}
  \[\psset{arrowsize=7pt,xunit=3cm,yunit=2.8cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-0.2)(1.8,1.5)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(1.8,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{1.6}{x -0.5 add}
  \psplot[linewidth=.8pt]{0.5}{1.6}{2 x mul -1.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.414,0)(1.414,1.328)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,1.328)(1.414,1.328)
  \rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$}
  \rput(1.4,-0.1){$a+h$}\rput[Br](-0.1,1.32){$f(a+h)$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(1,-0.3)(1.414,-0.3)\rput(1.2,-0.4){$h$}
  \rput(1,0.5){\LARGE\bf$.$}\rput(1.1,0.5){$A$}
  \rput(1.414,1.328){\LARGE\bf$.$}\rput(1.55,1.36){$M$}
  \rput(-0.5,.3){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}\]
\enmp

\item $f(x)=(x+3)\sqrt{x}$
  donc on a $f=uv$ avec 
  $u(x)=x+3$ donc $u'(x)=1$ 
  et $v(x)=\sqrt{x}$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 
  et alors 
  $f'=u'v+uv'$
  soit, 
  $f'(x)=\sqrt{x}+\dfrac{x+3}{2\sqrt{x}}$. 

  La tangente au point d'abscisse $a=1$ a pour équation réduite: 
  $T:y=f'(1)(x-1)+f(1)$, 
  soit, 
  avec $f'(1)=1+\dfrac42=3$ et $f(1)=4$, 
  $T:y=3(x-1)+4=3x+1$. 

\item 
  \bgen[a)]
  \item $f(x)=\dfrac{x^2+2}{2x+1}$, donc $f=\dfrac{u}{v}$ 
  avec $u(x)=x^2+2$ donc $u'(x)=2x$ 
  et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$ 
  et ainsi 
  $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ 
  soit 
  $f'(x)=\dfrac{2x(2x+1)-(x^2+2)2}{(2x+1)^2}
  =\dfrac{2x^2+2x-4}{(2x+1)^2}
  =2\dfrac{x^2+x-2}{(2x+1)^2}$

  Le numérateur, $x^2+x-2$ est un trin\^ome du second 
  degré de racine évidente $x_1=1$ et, comme $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2$, 
  la deuxième racine est $x_2=-2$ 
  on peut alors dresser le tableau de signe, puis de variation: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-1/2$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
  $x^2+x-2$ & &$+$ &\zb & $-$ & $|$ & $-$ &\zb & $+$& \\\hline
  $(2x+1)^2$ & &$+$ & $|$ & $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$& \\\hline
  $f'(x)$ & &$+$ &\zb & $-$ &  & $-$ &\zb & $+$& \\\hline
  &&&$-2$&&&&&&\\
  $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&
  \psline(-.03,-.7)(-.03,1.4)\psline(.03,-.7)(.03,1.4)&\Large{$\searrow$}&
  &\Large{$\nearrow$}&\\
  &&&&&&&1&&\\\hline
  \end{tabular}\]

  \item La tangente est parallèle à $D$ lorsque son coefficient directeur 
    $f'(x)$ est égal à celui de $D$, donc lorsque 
    $f'(x)=1$, soit 
    \[\bgar{ll}
    f'(x)&=2\dfrac{x^2+x-2}{(2x+1)^2}=\dfrac12\\[.9em]
    &\iff 4\lp x^2+x-2\rp=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\\[.6em]
    &\iff 9=0
    \enar\]

    Il y n'a donc pas de point où la tangente est parallèle à $D$. 
  \enen
\enen



\label{LastPage}
\end{document}

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