Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction de l'interrogation de mathématiques: nombre dérivé, tangente et étude de fonctions},
pdftitle={Corrigé de l'interrogation de mathématiques: dérivées},
pdfkeywords={dérivée, nombre dérivé, tangente, sens de variation,
étude de fonction, STI2D,
STI, première, Mathématiques}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé de l'interrogation de math\'ematiques}}
\bgex
\[\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(2,1.9)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.3,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
\psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
\psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{2}{x -0.5 add}
\psline{->}(1.2,0.7)(1.5,0.7)\rput(1.3,.6){$1$}
\psline{->}(1.5,0.7)(1.5,1)\rput[l](1.54,.8){$f'(a)$}
%
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5)
\rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$}
\rput(1.3,1.3){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\]
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Le taux de variation est
\[\bgar{ll}
\tau(h)&=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}
=\dfrac{\dfrac{3}{2(1+h)-1}-3}{h}\\[1em]
&=\dfrac{\dfrac{3}{1+2h}-3}{h}
=\dfrac{-6h}{h(1+2h)}
=\dfrac{-6}{1+2h}
\enar\]
Ainsi, $\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=-6$,
ce qui montre que $f$ est dérivable en $a=1$,
avec $f'(1)=-6$.
\item On a $f=3\tm\dfrac{1}{u}$ avec
$u(x)=2x-1$ donc $u'(x)=2$, \\
et alors
$f'=3\tm\dfrac{-1}{u^2}$,
soit $f'(x)=3\tm\dfrac{-2}{(2x-1)^2}=\dfrac{-6}{(2x-1)^2}$
On retrouve donc $f'(1)=-6$.
\item Cette tangente a pour équation
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=-6(x-1)+3=-6x+9$
\item Comme $f'(x)=\dfrac{-6}{(2x-1)^2}<0$,
et que $(2x-1)^2>0$ pour tout $x\not=1/2$,
on en déduit que $f$ est décroissante
sur $]-\infty;1/2[$ et sur $]1/2;+\infty[$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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