@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: suites numériques
Niveau
Première S
Mots clé
suite, suites numériques, suite récurrente, construction graphique, étude de fonction, devoir corrigé de mathématiques, maths
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé de l'interrogation de mathématiques en 1S: suites},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, suites}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
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\footskip=1.cm
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\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
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\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Donner le sens de variation des suites suivantes: 
\bgen[a)]
\item On a 
  \[\bgar{ll}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{2^{n+1}}{5^{n+1}}-\dfrac{2^n}{5^n}\\[1.2em]
  &=\dfrac{2^n}{5^n}\lp\dfrac25-1\rp=-\dfrac{3\tm2^n}{5^{n+1}}<0
  \enar\]
  et $\lp u_n\rp$ est donc décroissante. 
\item On a 
  \[\bgar{ll}v_{n+1}-v_n&=\dfrac{3^{n+1}}{n+1}-\dfrac{3^n}{n}\\[1.2em]
  &=3^n\lp\dfrac3{n+1}-\dfrac1n\rp\\[1.2em]
  &=3^n\dfrac{2n-1}{n(n+1)}
  \enar\]
  Or, comme $n>0$, on a $3^n>0$ et $n(n+1)>0$, et 
  $2n-1>0$ pour $n>\dfrac12>0$. 

  Ainsi, $\lp v_n\rp$ est croissante. 
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item $P(x)=-x^2+x-1$ est un trin\^ome du second degré de discriminant 
  $\Delta=-3<0$ et n'admet donc aucune racine réelle. 

  On a donc $P(x)<0$ pour tout $x$ réel. 

\item On définit la suite $\lp u_n\rp$ par 
  $u_0=1$ puis, pour tout entier $n$, 
  $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}$. 

  \bgen[a)]
  \item $u_1=\dfrac{3u_0-1}{u_0+2}=\dfrac23$, 
    $u_2=\dfrac{3u_1-1}{u_1+2}=\dfrac1{\frac23+1}=\dfrac35$ 
  \item On a 
    \[\bgar{ll}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}-u_n\\[1.2em]
    &=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}-\dfrac{u_n\lp u_n+2\rp}{u_n+2}\\[1.2em]
    &=\dfrac{-u_n^2+u_n-1}{u_n+2}\\[1.2em]
    &=\dfrac{P\lp u_n\rp}{u_n+2}\enar\]
    Or $P\lp u_n\rp<0$ d'après la question 1., 
    et, comme $u_n>-2$, on a $u_n+2>0$. 

    Ainsi, $\lp u_n\rp$ est décroissante. 
  \enen
\enen
\enex



\bgex
\bgen
\item $f$ est une fonction du second degré, 
  avec $f(x)=3x^2-3x+1$, 
  avec $a=3>0$ et $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac12$, 
  donc, $f$ est décroissante sur $\Bigl]-\infty;\dfrac12\Bigr]$ 
  et est croissante sur $\Bigl[\dfrac12;+\infty\Bigl[$. 

  Le minimum de $f$ est de plus 
  $f\lp\dfrac12\rp=3\tm\dfrac12\tm\lp-\dfrac12\rp+1=\dfrac14$. 

\item Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de 
  $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$, 
  alors, $M\in\mathcal{D}\iff y=x$ 
  et, $M\in\mathcal{C}_f\iff y=f(x)$. 

  On doit donc avoir $y=x=f(x)$, soit en particulier 
  $x=f(x)=3x(x-1)+1\iff 3x^2-4x+1=0$. 

  On peut calculer le discriminant, ou s'apercevoir que 
  ce trin\^ome admet 1 comme racine évidente, et donc trouver 
  que les racines de cette équations sont 
  $x_1=1$ et $x_2=\dfrac13$. 

  \medskip
  Ainsi, il y a deux points d'intersection: 
  $A(1;1)$ et $B\lp\dfrac13;\dfrac13\rp$. 

\item 
\[\psset{unit=10cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-.2,-.2)(1.2,1.2)
 \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
 \psline{->}(0,-0.2)(0,1.2)
 \psline(1,-0.01)(1,0.01)%
 \psline(-0.01,1)(0.01,1)%
 \rput(-0.03,1){1}%
 \rput(1,-0.03){1}%
 \rput(0.333,0.333){\large\bf$\tm$}\rput(0.37,0.34){$A$}
 \rput(1,1){\large\bf$\tm$}\rput(1.04,1){$B$}
 % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n)
 \newcommand{\f}[1]{3 #1 mul #1 1 sub mul 1 add}
 % Et son tracer:
 \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{1.2}{\f{x}}
 % ainsi que le tracer de la droite y=x
 \psplot{-0.2}{1.2}{x}

 % Defintion de la fonction itérée:
 % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x)))
 \newcommand\fn[2]{%
  \ifnum#1=1
  \f{#2}%
  \else
  \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
  \fi
 }
 % Valeur initiale (u_0)
 \def\xinit{0.1}
 \def\nmax{5}

 % Initialisation pour u_0
 \psline[linestyle=dashed]
 (\xinit,0)
 (!\xinit\space\f{\xinit})
 (!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
 \rput(\xinit,-0.05){$u_0$}
 % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax
 \multido{\i=1+1}{\nmax}{
  \psline[linestyle=dashed]
  (!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.05){$u_\i$}
 }
\end{pspicture*}\]
\enen
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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