Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé de l'interrogation de mathématiques en 1S: suites},
pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, suites}
}
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citecolor = blue,
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line)
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Donner le sens de variation des suites suivantes:
\bgen[a)]
\item On a
\[\bgar{ll}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{2^{n+1}}{5^{n+1}}-\dfrac{2^n}{5^n}\\[1.2em]
&=\dfrac{2^n}{5^n}\lp\dfrac25-1\rp=-\dfrac{3\tm2^n}{5^{n+1}}<0
\enar\]
et $\lp u_n\rp$ est donc décroissante.
\item On a
\[\bgar{ll}v_{n+1}-v_n&=\dfrac{3^{n+1}}{n+1}-\dfrac{3^n}{n}\\[1.2em]
&=3^n\lp\dfrac3{n+1}-\dfrac1n\rp\\[1.2em]
&=3^n\dfrac{2n-1}{n(n+1)}
\enar\]
Or, comme $n>0$, on a $3^n>0$ et $n(n+1)>0$, et
$2n-1>0$ pour $n>\dfrac12>0$.
Ainsi, $\lp v_n\rp$ est croissante.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item $P(x)=-x^2+x-1$ est un trin\^ome du second degré de discriminant
$\Delta=-3<0$ et n'admet donc aucune racine réelle.
On a donc $P(x)<0$ pour tout $x$ réel.
\item On définit la suite $\lp u_n\rp$ par
$u_0=1$ puis, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}$.
\bgen[a)]
\item $u_1=\dfrac{3u_0-1}{u_0+2}=\dfrac23$,
$u_2=\dfrac{3u_1-1}{u_1+2}=\dfrac1{\frac23+1}=\dfrac35$
\item On a
\[\bgar{ll}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}-u_n\\[1.2em]
&=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}-\dfrac{u_n\lp u_n+2\rp}{u_n+2}\\[1.2em]
&=\dfrac{-u_n^2+u_n-1}{u_n+2}\\[1.2em]
&=\dfrac{P\lp u_n\rp}{u_n+2}\enar\]
Or $P\lp u_n\rp<0$ d'après la question 1.,
et, comme $u_n>-2$, on a $u_n+2>0$.
Ainsi, $\lp u_n\rp$ est décroissante.
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item $f$ est une fonction du second degré,
avec $f(x)=3x^2-3x+1$,
avec $a=3>0$ et $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac12$,
donc, $f$ est décroissante sur $\Bigl]-\infty;\dfrac12\Bigr]$
et est croissante sur $\Bigl[\dfrac12;+\infty\Bigl[$.
Le minimum de $f$ est de plus
$f\lp\dfrac12\rp=3\tm\dfrac12\tm\lp-\dfrac12\rp+1=\dfrac14$.
\item Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$,
alors, $M\in\mathcal{D}\iff y=x$
et, $M\in\mathcal{C}_f\iff y=f(x)$.
On doit donc avoir $y=x=f(x)$, soit en particulier
$x=f(x)=3x(x-1)+1\iff 3x^2-4x+1=0$.
On peut calculer le discriminant, ou s'apercevoir que
ce trin\^ome admet 1 comme racine évidente, et donc trouver
que les racines de cette équations sont
$x_1=1$ et $x_2=\dfrac13$.
\medskip
Ainsi, il y a deux points d'intersection:
$A(1;1)$ et $B\lp\dfrac13;\dfrac13\rp$.
\item
\[\psset{unit=10cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-.2,-.2)(1.2,1.2)
\psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
\psline{->}(0,-0.2)(0,1.2)
\psline(1,-0.01)(1,0.01)%
\psline(-0.01,1)(0.01,1)%
\rput(-0.03,1){1}%
\rput(1,-0.03){1}%
\rput(0.333,0.333){\large\bf$\tm$}\rput(0.37,0.34){$A$}
\rput(1,1){\large\bf$\tm$}\rput(1.04,1){$B$}
% Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n)
\newcommand{\f}[1]{3 #1 mul #1 1 sub mul 1 add}
% Et son tracer:
\psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{1.2}{\f{x}}
% ainsi que le tracer de la droite y=x
\psplot{-0.2}{1.2}{x}
% Defintion de la fonction itérée:
% par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x)))
\newcommand\fn[2]{%
\ifnum#1=1
\f{#2}%
\else
\f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
\fi
}
% Valeur initiale (u_0)
\def\xinit{0.1}
\def\nmax{5}
% Initialisation pour u_0
\psline[linestyle=dashed]
(\xinit,0)
(!\xinit\space\f{\xinit})
(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.05){$u_0$}
% Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax
\multido{\i=1+1}{\nmax}{
\psline[linestyle=dashed]
(!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.05){$u_\i$}
}
\end{pspicture*}\]
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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