Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: suites},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, suites}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\nwc{\Cnp}[2]{\lp\bgar{c}\!\!#1\!\!\\\!\!#2\!\!\enar\rp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item $u_1=\dfrac12 u_0-\dfrac32=\dfrac12\tm1-\dfrac32=-1$;
\quad
$u_2=\dfrac12 u_1-\dfrac32=\dfrac12\tm(-1)-\dfrac32=-2$;
\item $v_0=u_0+3=4$;
$v_1=u_1+3=2$
et $v_2=u_2+3=1$.
\enen
\enex
\bgex
On a $v_n=f(n)$ avec la fonction
$f:x\mapsto \dfrac{x+1}{2x+1}$.
On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec
$u(x)=x+1$ donc $u'(x)=1$
et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$.
Ainsi,
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit
$f'(x)=\dfrac{1(2x+1)-(x+1)2}{(2x+1)^2}
=\dfrac{-1}{(2x+1)^2}<0$.
Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\R_+$,
et $(v_n)$ est strictement décroissante sur $\N$.
\enex
\bgex
Pour $n\in\N$,
$w_{n+1}-w_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^n}
=\dfrac{1}{2^n}\lp \dfrac{n+1}{2}-n\rp
=\dfrac{1}{2^n}\lp \dfrac{-n+1}{2}\rp
=\dfrac{-n+1}{2^{n+1}}$
Or $-n+1\leqslant 0$ dès que $n\geqslant 1$:
$(w_n)$ est décroissante pour $n\geqslant1$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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