Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: probabilités, loi binomiale},
pdftitle={Devoir de mathématiques: probabilités - Loi binomiale},
pdfkeywords={probabilités, loi binomiale}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-2em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\vspace{-.2em}
\bgex
On donne la loi de probabilité de d'une variable aléatoire $X$:
\[\renewcommand{\arraystretch}{2.8}
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
$x_i$ & $-2$ & $1$ & $2$ & $3$ & $5$ \\\hline
$P\lp X=x_i\rp$ & $\dfrac14$ & $\dfrac13$ & $\dfrac14$ & $\dfrac1{12}$ & $\dfrac1{12}$\\
\hline\end{tabular}\]
\bgen[a)]
\item Déterminer la probabilité $P\lp X\geqslant0\rp$.
\item Calculer l'espérance de $X$.
\item Calculer l'écart type de $X$.
\enen
\enex
\bgex
Un avion a une capacité de 100 personnes.
On considère que la probabilité qu'une personne qui a réservé son billet
ne se présente pas à l'embarquement est de 5\%.
\bgen
\item 100 billets, un par place, ont été vendus.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes
qui se présentent à l'embarquement.
\bgen[a)]
\item Préciser pourquoi $X$ suit une loi binomiale,
et en donner les paramètres.
\item Calculer la probabilité que l'avion soit plein.
\item Calculer la probabilité pour qu'il reste au moins une place
libre dans cet avion.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait strictement moins de 96 personnes
dans l'avion.
\enen
\item Comme on estime que la probabilité que cet avion ne soit pas plein
est importante, on décide de vendre 105 billets pour ce vol.
Calculer la probabilité qu'aucun client ne se retrouve sans place.
\enen
\enex
\bgex
Un graphologue prétend être capable de déterminer le sexe d'une personne
d'après son écriture dans 90\% des cas.\\
Personnellement, j'en doute.
Pour préciser mon idée, je lui soumet 20 exemples d'écriture. \\
Je suis pr\^et à reconnaître sa compétence s'il réussit
au moins 90\% des identifications du sexe,
soit au moins 18 sur les 20.
\bgen
\item Quelle est la probabilité que je reconnaisse la compétence
du graphologue alors qu’il s'est prononcé 20 fois complètement au hasard ?
\item Quelle est la probabilité que je rejette l'affirmation du graphologue
alors qu’elle est totalement fondée ?
Quel inconvénient présente ce test ?
\enen
\enex
\bgex
Quelles sont les valeurs affichées par le programme Python suivant ?
\[\fbox{\bgmp{4cm}
u=1\\
v=1\\
for i in range(5):\\
\hspace*{1.4em} w=u+v\\
\hspace*{1.4em} v=u\\
\hspace*{1.4em} u=w\\
\hspace*{1.4em} print(i,w)\\
print(u/v)
\enmp}\]
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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