Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: probabilités, loi binomiale},
pdftitle={Devoir de mathématiques: probabilités - Loi binomiale},
pdfkeywords={probabilités, loi binomiale}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\vspace{-.2em}
\bgex
\bgen[a)]
\item On a $P\lp X\geqslant \rp=1-P\lp X<0\rp=1-\dfrac14=\dfrac34$
\item L'espérance est
\[E(X)=
\dfrac14\tm(-2)+\dfrac13\tm1+\dfrac14\tm2+\dfrac1{12}\tm3+\dfrac1{12}\tm5
=\dfrac{12}{12}=1
\]
\item La variance est
\[\bgar{ll}V(X)&=
\dfrac14\tm(-2-1)^2+\dfrac13\tm(1-1)^2+\dfrac14\tm(2-1)^2+\dfrac1{12}\tm(3-1)^2+\dfrac1{12}\tm(5-1)^2\\[.8em]
&=\dfrac{9}{4}+0+\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{16}{12}\\[.8em]
&=\dfrac{50}{12}=\dfrac{25}{6}
\enar\]
L'écart type est alors
$\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{25}6}=\dfrac5{\sqrt6}\simeq2$
\enen
\enex
\bgex
Un avion a une capacité de 100 personnes.
On considère que la probabilité qu'une personne qui a réservé son billet
ne se présente pas à l'embarquement est de 5\%.
\bgen
\item 100 billets, un par place, ont été vendus.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes
qui se présentent à l'embarquement.
\bgen[a)]
\item On répète $n=100$ fois l'épreuve de Bernoulli:
un client au hasard se présente ou non à l'embarquement,
dont le succès est S:"le client se présente" de probabilité 95\%=0,95.
La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès,
c'est-à-dire au nombre de personnes dans l'avion,
suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,95$.
\item La probabilité que l'avion soit plein est
$P\lp X=100\rp=0,95^{100}\simeq 0,0059\simeq0,59\%$.
L'avion a donc très peu de chance d'\^etre plein !
\item La probabilité pour qu'il reste au moins une place
libre dans cet avion est
$P\lp X<100\rp=1-P\lp X=100\rp\simeq 99,41\%$.
C'est l'événement contraire de la question précédente:
il y a de très fortes chances pour que l'avion ne soit pas plein !
\item La probabilité qu'il y ait strictement moins de 96 personnes
dans l'avion est, avec la calculatrice
$P\lp X<96\rp=P\lp X\leqslant 95\rp\simeq 0,564\simeq56\%$.
Il ya donc plus d'une chance sur deux pour qu'il y a it plus de 5 places
libres dans cet avion.
\enen
\item Comme on estime que la probabilité que cet avion ne soit pas plein
est importante, on décide de vendre 105 billets pour ce vol.
On reprend le raisonnement précédent, en notant $Y$ la variable
aléatoire égale au nombre de personnes qui se présentent à
l'embarquement, et qui suit maintenant la loi binomiale de
paramètres $n=105$ et $p=0,95$.
La probabilité qu'aucun client ne se retrouve sans place
est la probabilité que moins de 100 personnes ne se présentent
à l'embarquement, soit
$P\lp Y\leqslant100\rp\simeq0,608$.
En vendant 5 billets supplémenaires
(c'est ce qu'on appelle du \textit{surbooking}), il a presque deux chances
sur trois pour que personne ne soit lésé en se retrouvant sans place dans
l'avion.
\enen
\enex
\clearpage
\bgex
\bgen
\item Supposons que le graphologue réponde complètement au hasard
et indépendanmment pour chacune des 20 écritures.
La probabilité de bonne réponse du graphologue,
c'est-à-dire d'une bonne identification de sexe de la personne, est
$p=1/2$.
En notant $X$ la varaible aléatoire égale au nombre de bonnes réponses
du graphologue sur les 20 identifications, on a donc que
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=1/2$.
Je reconnais alors sa compétence avec une probabilité de
$P\lp X\geqslant18\rp$.
Avec la calculatrice, on peut soit calculer
$P\lp X\geqslant18\rp=P\lp X=18\rp+P\lp X=19\rp+P\lp X=20\rp\simeq2.10^{-4}$,
soit
$P\lp X\geqslant18\rp=1-P\lp X\leqslant17\rp\simeq1-0,9998\simeq2.10^{-4}$.
Avec ce test, la probabilité que je reconnaisse la compétence de quelqu'un
qui répond au hasard est très faible.
\item Si le graphologue a bien la compétence qu'il annonce,
il identifie correctement le sexe avec une probabilité $p=0,9$.
En notant cette fois $Y$ la variable aléatoire égale au nombre
de bonnes identifications, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres
$n=20$ et $p=0,9$
et la probabilité que je rejette son affirmation est
$P\lp Y\leqslant17\rp\simeq0,32$.
Il y a donc environ une chance sur trois (environ 33\%)
pour que je me trompe !
\bigskip
Avec ce test j'ai très peu de chance de me tromper face à un charlatant.
Par contre, j'ai beaucoup de chances de considérer comme charlatant un
graphologue qui sait réellement reconna\^itre le sexe d'une personne
d'après son écriture (et qui sait se tromper dans quelques 10\% des cas).
\enen
\enex
\bgex
Le programme affiche successivement: \\
0 2 \\
1 3 \\
2 5 \\
3 8 \\
4 13 \\
1.625
\medskip
\textit{Il s'agit des premiers termes de la suite de Fibonacci.
Le dernier nombre affiché est le rapport des deux derniers termes
consécutifs.
On peut montrer que ce rapport tend vers le nombre d'or,
lorsque le nombre d'itérations tend vers l'infini.}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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