@ccueil Colles

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Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques en première S
  • suite numérique: étude du sens de variation
  • suite récurrente: calcul et construction graphique des premiers termes, et étude du sens de variation
  • algorithmique: détail des affichages produit par un algorithme
  • probabilités: loi binomiale
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, suite numérique, algorithme, probabilité, loi binomiale, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: suites, probabilités, algoritmique},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, suites, suites numériques, probabilités, loi binomiale}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit $(w_n)$ la suite d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par 
$w_n=\dfrac{n}{2^n}$. 

D\'eterminer le sens de variation de la suite $(w_n)$. 
\enex

\bgex
On consid\`ere l'algorithme suivant: 
\[\begin{minipage}{6cm}
  \fbox{
  \begin{minipage}{5.5cm}
  Entrer $N$\\
  $U$ prend la valeur $0$ \\
  $V$ prend la valeur $1$\\
  Pour $I$ allant de $1$ \`a $N$ \\
  \hspace*{0.5cm}$W$ prend la valeur $U+V$ \\
  \hspace*{0.5cm}$U$ prend la valeur $V$ \\
  \hspace*{0.5cm}$V$ prend la valeur $W$ \\
  \hspace*{0.5cm}Afficher $W$\\
  Fin\\
  Afficher $W/U$
  \end{minipage}
  }
  \end{minipage}\]
On entre au d\'ebut la valeur 6 pour la variable $N$. 
Quels sont les valeurs affich\'ees par l'algorithme ?
\enex


\bgex
Soit $\lp u_n\rp$ la suite définie par $u_0=1$ 
puis, pour tout entier naturel $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac{7u_n-4}{u_n+3}$. 

On admet que, pour tout entier $n$, $u_n$ est bien défini et $u_n>-3$. 

\bgen
\item Donner les valeurs exactes des premiers termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 

\item Donner le sens de variation de cette suite. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression 
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$. 
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

\bgen
\item 
  \bgen[a)] 
  \item Déterminer le sens de variation de $f$. 
  \item Tracer $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormal. 
    \textit{On prendra 5\,cm comme unité. }
  \enen

\item On définit la suite $\lp u_n\rp$ par $u_0=1$ 
  et, pour tout entier naturel $n$, par la relation 
  $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$. 

  On admet que, pour tout entier $n$, $u_n>0$. 

  \bgen[a)]
  \item Construire sur le graphique précédent les premiers 
    termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sur l'axe des abscisses. 
  \item Donner le sens de variation de $\lp u_n\rp$. 
  \enen

\enen

\enex


\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire qui suite la loi binomiale 
$\mathcal{B}(n;p)$. 

\bgen 
\item Donner, pour un entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$, 
  l'expression de $P(X=k)$. 

\item Pour $n=4$, donner les expressions, en fonction de $p$, 
  de $P(X=0)$ et $P(X=1)$. 

\item Pour $n=15$ et $p=0,25$, donner les valeurs 
  de $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X\leqslant 6)$ 
  et $P(X\geqslant 9)$. 
\enen
\enex

\bgex
$A$ et $B$ sont deux types d'avion ayant respectivement 4 et 2 moteurs. 
Les moteurs sont supposés indépendants les uns des autres 
et ils ont une probabilité $p$ de tomber en panne. 

Un avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs 
tombe en panne. 

\bgen
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de moteurs 
  de l'avion de type $A$ qui tombent en panne. 
  Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? 

  \medskip
  Par la suite, on note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre 
  de moteurs de l'avion de type $B$ qui tombent en panne. 
  Donner, sans justification, la loi de probabilité de $Y$. 

\item Une compagnie annonce que la probabilité de panne des moteurs 
  de ses avions est $p=0,1$. 

  Quel type d'avion, $A$ ou $B$ choisissez-vous ?

\item Une compagnie low cost annonce quant à elle 
  que la probabilité de panne des moteurs 
  de ses avions est $p=0,7$. 

  Quel type d'avion, $A$ ou $B$ choisissez-vous ?
\item Pour quelles valeurs de $p$ est-il plus judicieux de choisir 
  un avion de type $A$ ?
\enen
\enex










\label{LastPage}
\end{document}

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