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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques en première S
  • suite numérique: étude du sens de variation
  • suite récurrente: calcul et construction graphique des premiers termes, et étude du sens de variation
  • algorithmique: détail des affichages produit par un algorithme
  • probabilités: loi binomiale
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, suite numérique, algorithme, probabilité, loi binomiale, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, suites, suites numériques, probabilités, loi binomiale, }
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Pour $n\in\N$, 
$w_{n+1}-w_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^n}
=\dfrac{1}{2^n}\lp \dfrac{n+1}{2}-n\rp
=\dfrac{1}{2^n}\lp \dfrac{-n+1}{2}\rp
=\dfrac{-n+1}{2^{n+1}}$

Or $-n+1\leqslant 0 \iff n\geqslant 1$: 
$(w_n)$ est d\'ecroissante pour $n\geqslant1$. 
\enex

\bgex
L'algorithme affiche les valeurs, successivement, 
$1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, 
puis la valeur finale: le quotient $\dfrac{13}{8}$

\textit{Remarque: Il s'agit de la suite de Fibonacci, introduite au
  13e si\`ecle, et que l'on trouve dans de nombreuses situations, 
  de mani\`ere plus ou moins surprenante et inattendue. 
  Le quotient final calcul\'e et affich\'e et le quotient de deux termes
  cons\'ecutifs; on peut d\'emontrer que ce nombre tend vers le nombre
  d'or lorsque $N$ tend vers l'infini. }
\enex

\bgex
\bgen
\item $u_1=\dfrac{7u_0-4}{u_0+3}=\dfrac34$; 
  $u_1=\dfrac{7u_1-4}{u_1+3}=\dfrac{7\tm\dfrac34-4}{\dfrac34+3}
  =\dfrac{\dfrac54}{\dfrac{15}{4}}=\dfrac13$; 
  $u_2=\dfrac{7\tm\dfrac13-4}{\dfrac13+3}
  =\dfrac{\dfrac{-5}{3}}{\dfrac{10}{3}}=-\dfrac12$
\item Pour tout entier $n$, on a 
  $u_{n+1}-u_n=\dfrac{7u_n-4}{u_n+3}-u_n
  =\dfrac{-u_n^2+4u_n-4}{u_n+3}
  =\dfrac{-\lp u_n-2\rp^2}{u_n+3}$

  Pour tout entier $n$, $-\lp u_n-2\rp^2\leqslant0$ et, 
  comme $u_n>-3$, on a $u_n+3>0$. 

  Ainsi, $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ 
  et donc $\lp u_n\rp$ est décroissante. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression 
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$. 
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

\bgen
\item 
  \bgen[a)] 
  \item $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ 
    et $v(x)=x^2+1$ donc $v'(x)=2x$. 

    On a donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
    soit 
    $f'(x)=\dfrac{1(x^2+1)-x(2x)}{\lp x^2+1\rp^2}
      =\dfrac{-x^2+1}{\lp x^2+1\rp^2}$

      $-x^2+1$ est une expression du second degré qui a pour racines 
      $-1$ et $1$ et on a alors, 
      \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
      $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
      $-x^2+1$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$&\\\hline
      $\lp x^2+1\rp^2$ && $+$ &$|$&$+$&$|$&$+$&\\\hline
      $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$&\\\hline
      &&&&&$\dfrac12$&&\\
      $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
      &&&$-\dfrac12$&&&&\\\hline
      \end{tabular}\]

  \item 

    \[\psset{unit=3cm,arrowsize=8pt}
    \begin{pspicture*}(-2.6,-1.1)(2.6,1.2)
      \psline{->}(-2.3,0)(2.3,0)
      \psline{->}(0,-1.2)(0,1.2)
      \multido{\i=-3+1}{7}{%
        \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)%
        %\rput(\i,-0.3){$\i$}
      }
      \multido{\i=-3+1}{7}{%
        \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)%
        \rput(-0.3,\i){$\i$}%
      }
      % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n)
      \newcommand{\f}[1]{#1 #1 2 exp 1 add div}
 % Et son tracer:
 \psplot[linewidth=1.4pt]{-2.5}{2.5}{\f{x}}
 % ainsi que le tracer de la droite y=x
 \psplot{-3.2}{3.5}{x}

 % Defintion de la fonction itérée:
 % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x)))
 \newcommand\fn[2]{%
  \ifnum#1=1
  \f{#2}%
  \else
  \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
  \fi
 }
 % Valeur initiale (u_0)
 \def\xinit{1}
 \def\nmax{4}

 % Initialisation pour u_0
 \psline[linestyle=dashed]
 (\xinit,0)
 (!\xinit\space\f{\xinit})
 (!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
 \rput(\xinit,-0.3){$u_0$}
 % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax
 \multido{\i=1+1}{\nmax}{
  \psline[linestyle=dashed]
  (!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.1){$u_\i$}
 }
\end{pspicture*} \]

  \enen

\item 
  \bgen[a)]
  \item cf. graphique précédent. 
  \item $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{u_n^2+1}-u_n
    =\dfrac{-u_n^3}{u_n^2+1}$. 

    Pour tout entier $n$, $u_n^2+1\geqslant1>0$,et comme $u_n>0$, 
    on a $-u_n^3<0$, d'où 
    $u_{n+1}-u_n<0$: 
    la suite est strictement décroissante. 
  \enen

\enen

\enex


\bgex
\bgen
\item $P(X=k)=\lp\bgar{c}n\\k\enar\rp p^k (1-p)^{n-k}$
\item $P(X=0)=\lp\bgar{c}4\\0\enar\rp(1-p)^4=(1-p)^4$,  
  et 
  $P(X=1)=\lp\bgar{c}4\\1\enar\rp p(1-p)^3=4p(1-p)^3$ 

\item $P(X=0)=0,75^{10}\simeq 0,0134$, 
  $P(X=1)\simeq 0,0668$ 
  $P(X\leqslant 6)\simeq 0,9434$ \\
  et 
  $P(X\geqslant9)=1-P(\leqslant8)\simeq 0,0042$
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item On répète $n=4$ fois l'expérience aléatoire: 
  "utiliser un moteur" 
  dont le succès est: "le moteur tombe en panne" 
  de probabilité $p$. 
  Ces répétitions sont identiques et indépendantes. 

  Ainsi, la variable aléatoire $X$ égale au nombre de moteurs 
  sur les quatre qui tombe en panne suit la loi binomiale 
  $\mathcal{B}(4;p)$. 

  De m\^eme, $Y$ suit la loi binomiale 
  $\mathcal{B}(2;p)$. 

\item $X$ suit la loi $\mathcal{B}(4;0,1)$, et donc, 
  la probabilité qu'un avion de type $A$ arrive à destination 
  est $p_A=P(X\leqslant1)\simeq 0,95$. 

  De m\^eme, $Y$ suit la loi $\mathcal{B}(2;0,1)$ 
  et la probabilité qu'un avion de type $B$ arrive à destination est 
  $p_B=P(Y=0)=0,81$. 

  \medskip
  Comme $p_A>p_B$, il est préférable de choisir un avion de type $A$. 

\item En procédant de m\^eme avec $p=0,7$, 
  on trouve 
  $p_A\simeq 0,084$ et $p_B\simeq 0,09$. 

  Cette fois, $p_A<p_B$ et il vaut mieux choisir un avion de type $B$. 

\item Avec la m\^eme démarche que précédemment, 
  $p_A=P(X\leqslant1)=P(X=0)+P(X=1)=(1-p)^4+4p(1-p)^3$ 
  et 
  $p_B=P(X=0)=(1-p)^2$. 

  On a alors, 
  $P_A>p_B 
  \iff (1-p)^4+4p(1-p)^3 >(1-p)^2
  \iff (1-p)^2\lp (1-p)^2+4p(1-p)-1\rp>0
  \iff (1-p)^2\lp -3p^2+2p\rp>0
  \iff p(1-p)^2\lp -3p+2\rp>0$
  
  Comme $0\leqslant p\leqslant1$ et $(1-p)^2\geqslant0$, 
  on trouve 
  $p_A>p_B\iff -3p+2>0\iff p<\dfrac23$. 

  Ainsi, il est préférable de choisir un avion de type $A$ 
  lorsque $0\leqslant p\leqslant\dfrac23$. 
\enen
\enex






\label{LastPage}
\end{document}

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