Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, suites, suites numériques, probabilités, loi binomiale, }
}
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anchorcolor = red,
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Pour $n\in\N$,
$w_{n+1}-w_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^n}
=\dfrac{1}{2^n}\lp \dfrac{n+1}{2}-n\rp
=\dfrac{1}{2^n}\lp \dfrac{-n+1}{2}\rp
=\dfrac{-n+1}{2^{n+1}}$
Or $-n+1\leqslant 0 \iff n\geqslant 1$:
$(w_n)$ est d\'ecroissante pour $n\geqslant1$.
\enex
\bgex
L'algorithme affiche les valeurs, successivement,
$1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$,
puis la valeur finale: le quotient $\dfrac{13}{8}$
\textit{Remarque: Il s'agit de la suite de Fibonacci, introduite au
13e si\`ecle, et que l'on trouve dans de nombreuses situations,
de mani\`ere plus ou moins surprenante et inattendue.
Le quotient final calcul\'e et affich\'e et le quotient de deux termes
cons\'ecutifs; on peut d\'emontrer que ce nombre tend vers le nombre
d'or lorsque $N$ tend vers l'infini. }
\enex
\bgex
\bgen
\item $u_1=\dfrac{7u_0-4}{u_0+3}=\dfrac34$;
$u_1=\dfrac{7u_1-4}{u_1+3}=\dfrac{7\tm\dfrac34-4}{\dfrac34+3}
=\dfrac{\dfrac54}{\dfrac{15}{4}}=\dfrac13$;
$u_2=\dfrac{7\tm\dfrac13-4}{\dfrac13+3}
=\dfrac{\dfrac{-5}{3}}{\dfrac{10}{3}}=-\dfrac12$
\item Pour tout entier $n$, on a
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{7u_n-4}{u_n+3}-u_n
=\dfrac{-u_n^2+4u_n-4}{u_n+3}
=\dfrac{-\lp u_n-2\rp^2}{u_n+3}$
Pour tout entier $n$, $-\lp u_n-2\rp^2\leqslant0$ et,
comme $u_n>-3$, on a $u_n+3>0$.
Ainsi, $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$
et donc $\lp u_n\rp$ est décroissante.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
et $v(x)=x^2+1$ donc $v'(x)=2x$.
On a donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit
$f'(x)=\dfrac{1(x^2+1)-x(2x)}{\lp x^2+1\rp^2}
=\dfrac{-x^2+1}{\lp x^2+1\rp^2}$
$-x^2+1$ est une expression du second degré qui a pour racines
$-1$ et $1$ et on a alors,
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$-x^2+1$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$&\\\hline
$\lp x^2+1\rp^2$ && $+$ &$|$&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$&\\\hline
&&&&&$\dfrac12$&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&$-\dfrac12$&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item
\[\psset{unit=3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-2.6,-1.1)(2.6,1.2)
\psline{->}(-2.3,0)(2.3,0)
\psline{->}(0,-1.2)(0,1.2)
\multido{\i=-3+1}{7}{%
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)%
%\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\multido{\i=-3+1}{7}{%
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)%
\rput(-0.3,\i){$\i$}%
}
% Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n)
\newcommand{\f}[1]{#1 #1 2 exp 1 add div}
% Et son tracer:
\psplot[linewidth=1.4pt]{-2.5}{2.5}{\f{x}}
% ainsi que le tracer de la droite y=x
\psplot{-3.2}{3.5}{x}
% Defintion de la fonction itérée:
% par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x)))
\newcommand\fn[2]{%
\ifnum#1=1
\f{#2}%
\else
\f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
\fi
}
% Valeur initiale (u_0)
\def\xinit{1}
\def\nmax{4}
% Initialisation pour u_0
\psline[linestyle=dashed]
(\xinit,0)
(!\xinit\space\f{\xinit})
(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.3){$u_0$}
% Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax
\multido{\i=1+1}{\nmax}{
\psline[linestyle=dashed]
(!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.1){$u_\i$}
}
\end{pspicture*} \]
\enen
\item
\bgen[a)]
\item cf. graphique précédent.
\item $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{u_n^2+1}-u_n
=\dfrac{-u_n^3}{u_n^2+1}$.
Pour tout entier $n$, $u_n^2+1\geqslant1>0$,et comme $u_n>0$,
on a $-u_n^3<0$, d'où
$u_{n+1}-u_n<0$:
la suite est strictement décroissante.
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item $P(X=k)=\lp\bgar{c}n\\k\enar\rp p^k (1-p)^{n-k}$
\item $P(X=0)=\lp\bgar{c}4\\0\enar\rp(1-p)^4=(1-p)^4$,
et
$P(X=1)=\lp\bgar{c}4\\1\enar\rp p(1-p)^3=4p(1-p)^3$
\item $P(X=0)=0,75^{10}\simeq 0,0134$,
$P(X=1)\simeq 0,0668$
$P(X\leqslant 6)\simeq 0,9434$ \\
et
$P(X\geqslant9)=1-P(\leqslant8)\simeq 0,0042$
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item On répète $n=4$ fois l'expérience aléatoire:
"utiliser un moteur"
dont le succès est: "le moteur tombe en panne"
de probabilité $p$.
Ces répétitions sont identiques et indépendantes.
Ainsi, la variable aléatoire $X$ égale au nombre de moteurs
sur les quatre qui tombe en panne suit la loi binomiale
$\mathcal{B}(4;p)$.
De m\^eme, $Y$ suit la loi binomiale
$\mathcal{B}(2;p)$.
\item $X$ suit la loi $\mathcal{B}(4;0,1)$, et donc,
la probabilité qu'un avion de type $A$ arrive à destination
est $p_A=P(X\leqslant1)\simeq 0,95$.
De m\^eme, $Y$ suit la loi $\mathcal{B}(2;0,1)$
et la probabilité qu'un avion de type $B$ arrive à destination est
$p_B=P(Y=0)=0,81$.
\medskip
Comme $p_A>p_B$, il est préférable de choisir un avion de type $A$.
\item En procédant de m\^eme avec $p=0,7$,
on trouve
$p_A\simeq 0,084$ et $p_B\simeq 0,09$.
Cette fois, $p_A<p_B$ et il vaut mieux choisir un avion de type $B$.
\item Avec la m\^eme démarche que précédemment,
$p_A=P(X\leqslant1)=P(X=0)+P(X=1)=(1-p)^4+4p(1-p)^3$
et
$p_B=P(X=0)=(1-p)^2$.
On a alors,
$P_A>p_B
\iff (1-p)^4+4p(1-p)^3 >(1-p)^2
\iff (1-p)^2\lp (1-p)^2+4p(1-p)-1\rp>0
\iff (1-p)^2\lp -3p^2+2p\rp>0
\iff p(1-p)^2\lp -3p+2\rp>0$
Comme $0\leqslant p\leqslant1$ et $(1-p)^2\geqslant0$,
on trouve
$p_A>p_B\iff -3p+2>0\iff p<\dfrac23$.
Ainsi, il est préférable de choisir un avion de type $A$
lorsque $0\leqslant p\leqslant\dfrac23$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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