@ccueil Colles

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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: probabilités et un algorithme
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, probabilité, arbre pondéré, arbre de probabilités, algorithme, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
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\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique, 
    cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
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    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
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\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
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\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
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\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
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\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)
  \rput[l](1.8,1.5){Pi\`ece truqu\'ee}\rput(0.7,1.2){$\dfrac12$}
  \psline(4,1.5)(5.5,2.25)\rput(5.75,2.25){$P$}\rput(4.7,2.2){$\dfrac{9}{10}$}
  \psline(4,1.5)(5.5,0.75)\rput(5.75,0.75){$F$}\rput(4.7,0.7){$\dfrac{1}{10}$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)
  \rput[l](1.6,-1.5){Pi\`ece non truqu\'ee}\rput(0.7,-1.2){$\dfrac12$}
  \psline(4,-1.5)(5.5,-0.75)\rput(5.75,-0.75){$P$}\rput(4.7,-0.7){$\dfrac12$}
  \psline(4,-1.5)(5.5,-2.25)\rput(5.75,-2.25){$F$}\rput(4.7,-2.2){$\dfrac12$}
\end{pspicture}\]
La probabilit\'e d'obtenir "Pile" est alors 
$p=\dfrac12\tm\dfrac{9}{10}+\dfrac12\tm\dfrac12=\dfrac{14}{20}
=\dfrac{7}{10}$
\enex

\bgex
La variable $N$ vaut donc initialement 4. \\
La boucle va donc faire varier $I$ de 1 \`a 4. 
\bgit
\item Pour $I=1$, on affecte la valeur 
$5\tm0+1=1$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=2$, on affecte la valeur 
  $5\tm1+2=7$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=3$, on affecte la valeur 
  $5\tm7+3=38$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=4$, on affecte la valeur 
  $5\tm38+4=194$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 
\enit

L'algorithme affiche donc, successivement: 
"Choisir un nombre", 
"1", "7", "38", "194", 
"R\'esultat final", "194"
\enex

\bgex
\bgen
\item 
    \[\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,-4.2)(5,2.6)
    \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$R$}
    \rput(0.6,1.5){\small $\frac{1}{n}$}
    \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$R$}
      \rput(2.8,2.6){\small $\frac{1}{n}$}
      \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$B$}
      \rput(2.8,0.3){\small $\frac{n-1}{n}$}
    %
    \psline(0,0)(1.5,-2.5)\rput(1.75,-2.5){$B$}
    \rput(.6,-2){\small $\frac{n-1}{n}$}
      \psline(2,-2.5)(3.5,-1.75)\rput(3.75,-1.75){$R$}
      \rput(2.8,-1.5){\small $\frac{1}{n}$}
      \psline(2,-2.5)(3.5,-3.25)\rput(3.75,-3.25){$B$}
      \rput(2.8,-3.7){\small $\frac{n-1}{n}$}
  \end{pspicture}\]

  On a alors les probabilités: 
  \[P(M)=\lp\dfrac1n\rp^2+\lp\dfrac{n-1}{n}\rp^2
  =\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}\]
  et 
  \[P(N)=2\tm\dfrac1n\tm\dfrac{n-1}{n}=\dfrac{2(n-1)}{n^2}\]
\item 
  \bgen[a)]
  \item La loi de probabilité de $X$ est 
    \[\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
    Valeurs de $X$: $x_i$ & $-n^2$ & $2n^2$ 
    \\\hline
    $P\lp X=x_i\rp$ & $\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}$ & $\dfrac{2(n-1)}{n^2}$
    \\\hline
    \end{tabular}\]

  \item 
    \[E(X)
    =-n^2\tm\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}+2n^2\tm\dfrac{2(n-1)}{n^2}
    =-n^2+6n-6\]

  \item Le jeu est favorable au joueur lorsque $E(X)>0$. 

    $E(X)$ est un trin\^ome du second degré de discriminant 
    $\Delta=12>0$ et admet deux racines 
    $n_1=\dfrac{-6-\sqrt{12}}{-2}=3+\sqrt3\simeq4,7$ 
    et 
    $n_2=\dfrac{-6+\sqrt{12}}{-2}=3-\sqrt3\simeq 1,3$. 

    On a alors $E(X)>0\iff n\in]n_1;n_2[$, soit 
    pour $n=2$, $n=3$ ou $n=4$, donc pour 
    1, 2 ou 3 boules blanches. 

  \item $E(x)$ est un trin\^ome du second degré dont le maximum est atteint 
    en $n=\dfrac{-b}{2a}=3$, pour lequel $E(X)=3$. 

    Le joueur a donc tout intér\^et a choisir 
    que l'urne contienne 2 boules blanches, 
    pour un gain moyen maximal de 3 euros. 
  \enen
\enen
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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