Source Latex
de la correction du devoir
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique,
cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
}
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linkcolor = red,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line)
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6)
\psline(0,0)(1.5,1.5)
\rput[l](1.8,1.5){Pi\`ece truqu\'ee}\rput(0.7,1.2){$\dfrac12$}
\psline(4,1.5)(5.5,2.25)\rput(5.75,2.25){$P$}\rput(4.7,2.2){$\dfrac{9}{10}$}
\psline(4,1.5)(5.5,0.75)\rput(5.75,0.75){$F$}\rput(4.7,0.7){$\dfrac{1}{10}$}
%
\psline(0,0)(1.5,-1.5)
\rput[l](1.6,-1.5){Pi\`ece non truqu\'ee}\rput(0.7,-1.2){$\dfrac12$}
\psline(4,-1.5)(5.5,-0.75)\rput(5.75,-0.75){$P$}\rput(4.7,-0.7){$\dfrac12$}
\psline(4,-1.5)(5.5,-2.25)\rput(5.75,-2.25){$F$}\rput(4.7,-2.2){$\dfrac12$}
\end{pspicture}\]
La probabilit\'e d'obtenir "Pile" est alors
$p=\dfrac12\tm\dfrac{9}{10}+\dfrac12\tm\dfrac12=\dfrac{14}{20}
=\dfrac{7}{10}$
\enex
\bgex
La variable $N$ vaut donc initialement 4. \\
La boucle va donc faire varier $I$ de 1 \`a 4.
\bgit
\item Pour $I=1$, on affecte la valeur
$5\tm0+1=1$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite.
\item Pour $I=2$, on affecte la valeur
$5\tm1+2=7$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite.
\item Pour $I=3$, on affecte la valeur
$5\tm7+3=38$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite.
\item Pour $I=4$, on affecte la valeur
$5\tm38+4=194$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite.
\enit
L'algorithme affiche donc, successivement:
"Choisir un nombre",
"1", "7", "38", "194",
"R\'esultat final", "194"
\enex
\bgex
\bgen
\item
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-4.2)(5,2.6)
\psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$R$}
\rput(0.6,1.5){\small $\frac{1}{n}$}
\psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$R$}
\rput(2.8,2.6){\small $\frac{1}{n}$}
\psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$B$}
\rput(2.8,0.3){\small $\frac{n-1}{n}$}
%
\psline(0,0)(1.5,-2.5)\rput(1.75,-2.5){$B$}
\rput(.6,-2){\small $\frac{n-1}{n}$}
\psline(2,-2.5)(3.5,-1.75)\rput(3.75,-1.75){$R$}
\rput(2.8,-1.5){\small $\frac{1}{n}$}
\psline(2,-2.5)(3.5,-3.25)\rput(3.75,-3.25){$B$}
\rput(2.8,-3.7){\small $\frac{n-1}{n}$}
\end{pspicture}\]
On a alors les probabilités:
\[P(M)=\lp\dfrac1n\rp^2+\lp\dfrac{n-1}{n}\rp^2
=\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}\]
et
\[P(N)=2\tm\dfrac1n\tm\dfrac{n-1}{n}=\dfrac{2(n-1)}{n^2}\]
\item
\bgen[a)]
\item La loi de probabilité de $X$ est
\[\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
Valeurs de $X$: $x_i$ & $-n^2$ & $2n^2$
\\\hline
$P\lp X=x_i\rp$ & $\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}$ & $\dfrac{2(n-1)}{n^2}$
\\\hline
\end{tabular}\]
\item
\[E(X)
=-n^2\tm\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}+2n^2\tm\dfrac{2(n-1)}{n^2}
=-n^2+6n-6\]
\item Le jeu est favorable au joueur lorsque $E(X)>0$.
$E(X)$ est un trin\^ome du second degré de discriminant
$\Delta=12>0$ et admet deux racines
$n_1=\dfrac{-6-\sqrt{12}}{-2}=3+\sqrt3\simeq4,7$
et
$n_2=\dfrac{-6+\sqrt{12}}{-2}=3-\sqrt3\simeq 1,3$.
On a alors $E(X)>0\iff n\in]n_1;n_2[$, soit
pour $n=2$, $n=3$ ou $n=4$, donc pour
1, 2 ou 3 boules blanches.
\item $E(x)$ est un trin\^ome du second degré dont le maximum est atteint
en $n=\dfrac{-b}{2a}=3$, pour lequel $E(X)=3$.
Le joueur a donc tout intér\^et a choisir
que l'urne contienne 2 boules blanches,
pour un gain moyen maximal de 3 euros.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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