Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: probabilités},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, probabiltés, loi binomiale}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\nwc{\Cnp}[2]{\lp\bgar{c}\!\!#1\!\!\\\!\!#2\!\!\enar\rp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit $A$ et $B$ deux événements tels que
$P(A)=0,3$, $P(B)=0,5$ et $P(A\cap B)=0,8$. \\
$A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?
\enex
\bgex
Soit $A$ et $B$ deux événements tels que
$P(A)=0,3$, $P(A\cup B)=0,7$ et $P(A\cap B)=0,2$.
Calculer $P\lp\overline{B}\rp$.
\enex
\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
$\mathcal{B}(60;0,03)$.
\bgen
\item Donner l'expression de $P(X=12)$ et en donner la valeur.
\item Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$.
\item Calculer $P(X>1)$.
\item Donner l'espérance $E(X)$ et
l'écart type $\sigma(X)$.
\enen
\enex
\bgex
\`A chaque cours de mathématiques, le professeur interroge trois élèves
au hasard dans la classe de 30 élèves.
Il prétend en effet ne pas soucier (ou se souvenir ?)
des élèves interrogés précédemment.
\bgen
\item Quelle est la probabilité que je sois interrogé à un cours ?
\item On considère les 30 cours consécutifs d'un trimestre.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de cours où
je suis interrogé en mathématiques.
\bgen[a)]
\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
\item Quelle est la probabilité que je sois interrogé:
\bgen[i)]
\item aucune fois ?
\item 2 fois ?
\item strictement plus de 3 fois ?
\item strictement moins de 5 fois ?
\enen
\item J'ai déjà été interrogé 4 fois sur les 10 premiers cours du trimestre.
Quelle est la probabilité que je sois interrogé 2 fois de plus
d'ici la fin du trimestre ?
\item \`A la fin du trimestre, je remarque que j'ai été interrogé 12 fois.
Que penser ?
\enen
\enen
\enex
\bgex
Une cha\^ine de production d'une usine fabrique des v\^etements.
Une étude statistique a montré que:
\bgit
\item 12\% des v\^etements ont un défaut de couleur,
\item parmi les v\^etements ayant un défaut de couleur,
20\% ont un défaut dans la forme,
\item parmi les v\^etements n'ayant pas de défaut de couleur,
8\% présentent un défaut dans la forme.
\enit
On prélève un v\^etement au hasard à la sortie de la cha\^ine de
production. \\
On note par la suite les événements
$C$: "le v\^etement présente un défaut de couleur"
et $F$: "le v\^etement présente un défaut dans la forme".
\bgen
\item Compléter l'arbre pondéré suivant décrivant la situation:
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6)
\psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$C$}
\psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$F$}
\psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{F}$}
%
\psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{C}$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$F$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{F}$}
\end{pspicture}\]
\item
\bgen[a)]
\item Calculer la probabilité que le v\^etement prélevé
ait un défaut de couleur et un défaut dans la forme.
\item Calculer la probabilité que le v\^etement prélevé
ait un défaut de forme.
\enen
\item Le directeur de l'usine affirme que 92\% des v\^etements
fabriqués ne présentent aucun défaut.
Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.
\item Les employés de l'usine peuvent acheter des v\^etements
à tarif préférentiel.
L'un d'entre eux achète 8 v\^etements. \\
Quelle est la probabilité pour qu'aucun des v\^etements achetés
ne présente de défaut ?
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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