@ccueil Colles

Source LaTeX icone DS-Probabilites-c



Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: probabiltés, loi binomiale
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, probabilités, loi binomiale, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: probabilités},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, probabiltés, loi binomiale}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\headsep}{0in}
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
%\voffset=-1cm
\textheight=28cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=-1cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\nwc{\Cnp}[2]{\lp\bgar{c}\!\!#1\!\!\\\!\!#2\!\!\enar\rp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
On a $P\lp A\cap B\rp=P(A)+P(B)-P\lp A\cup B\rp
=0,3+0,5-0,8=0$, \\
ce qui montre que $A\cap B=\emptyset$, 
c'est-à-dire que $A$ et $B$ sont incompatibles. 
\enex

\bgex
On a 
$P\lp A\cup B\rp=P(A)+P(B)-P\lp A\cap B\rp$ \\
soit aussi 
$P(B)=P\lp A\cup B\rp-P(A)+P\lp A\cap B\rp
=0,7-0,3+0,2=0,6$. 

On a alors, 
$P\lp\overline{B}\rp=1-P(B)=0,4$. 
\enex

\bgex
\bgen
\item $P(X=12)=\Cnp{60}{12}0,03^{12}0,97^{48}\simeq 2.10^{-7}$
\item $P(X=0)=0,97^{60}\simeq 0,16$; 
  $P(X=1)=\Cnp{60}{1}0,03^{1}0,97^{59}\simeq 0,30$
\item $P(X>1)=1-P(X\leqslant1)=1-\Bigl(P(X=0)+P(X=1)\Bigr)
  \simeq1-\Bigl(0,16+0,30\Bigr)\simeq 0,54$
\item $E(X)=np=60\tm0,03=1,8$ 
  et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{60\tm0,03\tm0,97}\simeq 1,32$
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item La probabilité est de $p=\dfrac{3}{30}=0,1$. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item On répète $n=30$ fois l'expérience aléatoire 
    "interroger 3 élèves", dont le succès est 
    "je fais parti de ces trois élèves donc suis interrogé)" 
    de probabilité $p=0,1$. 
    
    Ces répétitions sont identiques et indépendantes 
    (c'est ce que prétend le professeur). 
    
    La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès, 
    c'est-à-dire au nombre de fois où je suis interrogé, suit 
    donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,1$. 
  \item 
    \bgen[i)]
    \item $P(X=0)=0,9^{30}\simeq 0,042$
    \item $P(X=2)=\Cnp{30}{2}0,1^20,9^{28}\simeq 0,228$
    \item $P(X>3)=P(X\geqslant 4)=1-P(X\leqslant 3)\simeq 0,353$
    \item $P(X<5)=P(X\leqslant 4)\simeq 0,825$
    \enen
  \item Comme les répétitions sont identiques et indépendantes, 
    le fait d'avoir déjà été interrogé 4 fois sur les 10 premiers cours 
    n'influe pas sur le fait d'\^etre plus ou moins interrogé par la suite. 

    Si on note, comme précédemment, $Y$ la variable aléatoire égale au nombre 
    de fois ou je suis interrogé sur les 20 cours restant ce trimestre, 
    alors $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,1)$. 

    La probabilité que je sois interrogé encore 2 fois 
    est alors $P(Y=2)=\Cnp{20}{2}0,1^20,9^{18}\simeq 0,285$
  \item $P(X=12)=\Cnp{30}{12}0,1^{12}0,9^{18}\simeq 10^{-5}$: 
    la pobabilité semble bien faible ! 
    On peut s\^urement remettre en cause la seule hypothèse faite: 
    le professeur ne désigne pas les élèves qu'il interroge 
    aléatoirement, il les choisit donc, en l'occurrence moi\dots    
  \enen
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item 
  \[\psset{xunit=1.cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,-1.5)(5,1)
    \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$C$}\rput(0.7,1.2){$12\%$}
    \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$F$}\rput(2.9,2.2){$20\%$}
    \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{F}$}\rput(2.9,0.7){$80\%$}
    %
    \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{C}$}\rput(0.7,-1.2){$88\%$}
    \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$F$}\rput(2.9,-0.7){$8\%$}
    \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{F}$}\rput(2.9,-2.2){$92\%$}
  \end{pspicture}\]
\item 
  \bgen[a)]
  \item $P(C\cap F)=12\%\tm20\%=2,4\%$
  \item $P(F)=12\%\tm20\%+88\%\tm8\%=9,44\%$
  \enen
\item La probabilité qu'un v\^etement ne présente aucun défaut 
  %c'est-à-dire ni défaut de forme ni de couleur, 
  est $P\lp\overline{C}\cap\overline{F}\rp=88\%\tm92\%=80,96\%$. 

  Le directeur de l'usine se trompe donc. 
\item On répète $n=8$ fois l'expérience aléatoire "acheter un v\^etement", 
  de manière identique et indépendante, 
  dont le succès est "le v\^etement n'a pas de défaut" de probabilité 
  $p=80,96\%$. 

  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de v\^etements 
  achetés qui n'ont pas de défaut. Alors $X$ suit la loi binomiale 
  $\mathcal{B}\lp8;80,96\%\rp$, et 
  $P(X=8)=(80,96\%)^8\simeq 0,185$.
\enen 
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

Haut de la page Haut de la page