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sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: produit scalaire},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, produit scalaire, trigonométrie, cercle trigonométrique, cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
%\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
\bgen
\item On considère les points $A(1;2)$, $B(3;-2)$ et $C(-5;6)$.
Calculer $\V{AB}\cdot\V{AC}$, $AB$ et $AC$.
En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$.
\item Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$
de centre $I(-2;3)$ et de rayon 3.
%\item Soit les points $E(3;4)$ et $F(7;-6)$.
% Déterminer une équation de la médiatrice de $[EF]$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie par l'expression
$f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\cos x}$.
\bgen
\item Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]-\pi;\pi[$.
\enen
\enex
\bgex
Dans le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j})$, on consid\`ere les points
$A(2;-1)$ et $B(1;3)$, et la droite
$D$ d'\'equation $x+y+1=0$.
\bgen
\item D\'eterminer l'\'equation de la m\'ediatrice $T$ de $[AB]$.
\item Repr\'esenter sur une figure les droites $D$ et $T$.
\item Calculer les coordonn\'ees du point $I$, intersection des droites
$D$ et $T$.
%\item D\'eterminer le rayon du cercle $C$ passant par $A$ et $B$ et dont
% le centre est sur la droite $D$.
%\item D\'eterminer l'\'equation du cercle $C$.
\enen
\enex
\bgex
$A$ et $B$ sont deux points tels que $AB=6$\,cm.
$I$ est le milieu du segment $[AB]$.
\bgen
\item On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ tels que:
$\V{MA}\cdot\V{MB}=7$.
\bgen[a.]
\item D\'emontrer que $\V{MA}\cdot\V{MB}=MI^2-IA^2$.
\item En d\'eduire que $M$ appartient \`a $\mathcal{E}$ si et seulement
si: $MI^2=16$.
\item D\'eterminer alors l'ensemble $\mathcal{E}$.
\enen
\item On note $\mathcal{F}$ l'ensemble des points $M$ tels que:
$\V{MA}\cdot\V{MB}=-10$.
D\'eterminer l'ensemble $\mathcal{F}$.
\enen
\enex
\bgex
Le plan est muni d'un rep\`ere orthonorm\'e.
$\mathcal{C}$ est le cercle d'\'equation:
$x^2+y^2-2x+4y+1=0$.
$T$ est le point de coordonn\'ees $(3;4)$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item D\'eterminer les coordonn\'ees du centre $\Omega$ du cercle
$\mathcal{C}$ et son rayon.
\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$ et placer le point $T$ sur une
figure.
\enen
\item On m\`ene, \`a partir du point $T$, les deux tangentes au cercle
$\mathcal{C}$ et on note $A_1$ et $A_2$ les points de contact de ces
tangentes avec $\mathcal{C}$.
\bgen[a)]
\item D\'emontrer que $A_1$ et $A_2$ appartiennent au cercle
$\mathcal{C}'$ de diam\`etre $[\Omega T]$.
\item D\'eterminer une \'equation du cercle $\mathcal{C}'$.
\item Calculer les coordonn\'ees des points $A_1$ et $A_2$.
%\item D\'eterminer une \'equation de chacune des tangentes.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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