@ccueil Colles

Source LaTeX icone DS-Produit-scalaire-c



Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: produit scalaire
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, produit scalaire, vecteurs, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: produit scalaire},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, produit scalaire, vecteurs, 
      équation de droite, équation de cercle}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
\bgen
\item $\V{AB}(2;-4)$ et $\V{AC}(-6;4)$ et donc 
  $\V{AB}\cdot\V{AC}=2\tm(-6)+(-4)\tm4=-28$. 
  
  $AB=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}$ 
  et $AC=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{52}$. 

  Comme par ailleurs 
  $\V{AB}\cdot\V{AC}=AB\tm AC\tm\cos\lp\V{AB},\V{AC}\rp$, \\
  on en déduit que 
  $\cos\lp\V{AB},\V{AC}\rp=\cos\widehat{BAC}
  =\dfrac{\V{AB}\cdot\V{AC}}{AB\tm AC}
  =\dfrac{-28}{\sqrt{20}\sqrt{52}}$, \\
  soit $\cos\widehat{BAC}\simeq -0.868$ 
  et alors $\widehat{BAC}\simeq 150$ degrés. 
\item Une équation du cercle $\mathcal{C}$ 
  de centre $I(-2;3)$ et de rayon 3 est 
  $(x+2)^2+(y-3)^2=3^2=9$. 
\item Le milieu $I$ de $[EF]$ est $I(5;-1)$. 
  $M(x;y)$ appartient à la médiatrice de $[EF]$ si et seulement si 
  $\V{IM}\cdot\V{EF}=0$, soit, 
  avec $\V{IM}(x-5;y+1)$ et $\V{EF}(4;-10)$, 
  $4(x-5)-10(y+1)=0\iff 4x-10y-30=0$. 
\enen
\enex


\bgex
\bgen
\item 
  $M(x;y)\in\mathcal{E} \iff x^2+y^2+2x-6y+5=0
  \iff (x+1)^2+(y-3)^2=5$. 
  $\mathcal{E}$ est donc le cercle de centre $I(-1;3)$ et de rayon 
  $\sqrt5$. 
\item Soit $M(x;y)$ un point de $\mathcal{E}$ et de l'axe des ordonnées, 
  alors $x=0$ et $(x+1)^2+(y-3)^2=5$, 
  donc $(y-3)^2=4\iff \Bigl( y-3=2 \text{ ou } y-3=-2\Bigr)
  \iff \Bigl( y=5 \text{ ou } y=1\Bigr)$. 
  Il y a ainsi deux points d'intersection avec l'axe des ordonnées: 
  $A(0;1)$ et $B(0;5)$. 
  
\item $(-2+1)^2+(5-3)^2=1^2+2^2=5$, 
  donc $F(-2;5)$ appartient bien à $\mathcal{E}$. 

  Soit de plus $M(x;y)$ un point de la tangente 
  $\mathcal{T}$ à $\mathcal{E}$ en $M$, 
  alors $\V{FM}\cdot\V{FI}=0$. 

  On a $\V{FM}(x+2;y-5)$ et $\V{FI}(1;-2)$, 
  donc 
  \[\V{FM}\cdot\V{FI}=0\iff (x+2)-2(y-5)=0\iff x-2y+12=0\]
\enen
\enex

\bgex
Une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ 
au point d'abscisse 1 est 
$y=f'(1)(x-1)+f(1)$, 
avec $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$, et $f(1)=1^2=1$, 
d'où $\mathcal{T}: y=2(x-1)+1=2x-1\iff 2x-y-1=0$. 

Un vecteur directeur de $\mathcal{T}$ est $\vec{u}(1;2)$, 
et $M(x;y)$ appartient à la droite normale à $\mathcal{C}$ 
en $A$ si et seulement si 
$\V{AM}\cdot\vec{u}=0$, avec $A(1;1)$ et donc 
$\V{AM}(x-1;y-1)$, d'où 
$\V{AM}\cdot\vec{u}=(x-1)+2(y-1)=0\iff x+2y-3=0$. 
\enex

\bgex
\bgen
\item \[\bgar{ll}
  M\in\mathcal{E} &\iff \V{MA}\cdot\V{MB}=16\\[.3cm]
  &\iff\lp\V{MI}+\V{IA}\rp\cdot\lp\V{MI}+\V{IB}\rp=16\\[.3cm]
  &\iff MI^2+\V{MI}\cdot\lp\V{IA}+\V{IB}\rp+\V{IA}\cdot\V{IB}=16
  \enar\]
  or, $\V{IA}=-\V{IB}$ car $I$ est le milieu de $[AB]$, 
  donc $\V{IA}+\V{IB}=\vec{0}$, 
  et $\V{IA}\cdot\V{IB}=-IA^2=-9$. 

  Ainsi, $M\in\mathcal{E}\iff MI^2-9=25\iff MI^2=25$. 
\item L'ensemble $\mathcal{E}$ est donc le cercle de centre $I$ 
  et de rayon 5. 
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

Haut de la page Haut de la page