Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: équations et inéquations du second degré},
pdftitle={Devoir de mathématiques: second degré},
pdfkeywords={second deré, trinome du 2nd degré, équation du second degré, inéquation du second degré, mathématiques, 1èreS, 1S, première S}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
%a) $2x^2+5x+2=0$ est un trin\^ome du 2nd degr\'e de discriminant
%$\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines r\'eelles:
%$\mathcal{S}=\la -2\,;\,-\dfrac12\ra$
%
a) $x^2=7x \iff x^2-7x=0 \iff x(x-7)=0$
soit $x=0$ ou $x=7.$
b) $-x^2+7x-3=5-2x \iff x^2-9x+8=0$\\
$\Delta=49=7^2>0$,
donc l'\'equation admet deux racines r\'eelles distinctes :
$x_1=8$ et $x_2=1$.
%c) C'est le trin\^ome du a) qui a deux racines $2$ et $-\dfrac12$.
c) Ce trin\^ome du 2nd degr\'e a pour discriminant
$\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines r\'eelles:
$\mathcal{S}=\la -2\,;\,-\dfrac12\ra$
Il est donc strictement n\'egatif sur
$\mathcal{S}=\Bigl]-2;-\dfrac12\Bigr[$.
d) Lrin\^ome du d\'enominateur a pour discriminant
$\Delta=11^2+4\tm2\tm6=169=13^2>0$.
Le trin\^ome admet donc deux racines r\'eelles distinctes:
$x_1=-6$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$.
On peut alors dresser le tableau de signe de cette fraction:
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$-6$& &$-\frac{2}{3}$& &$\frac{1}{2}$&&$+\infty$
\\\hline
$3x+2$& &-& $|$ &-& \zb &+&$|$&+&\\\hline
$2x^2+11x-6$& &+& \zb&-& $|$ &-&\zb&+&\\\hline
$\frac{3x+2}{2x^2+11x-6}$&
&-& \db&+& \zb &-&\db&+& \\\hline
\end{tabular}
\]
On en d\'eduit les solutions de l'in\'equation:
$\mathcal{S}=\bigr]-6\,;\,-\dfrac{2}{3}\bigr]
\cup\bigr]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\bigl[$
e)
$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x}\leqslant-2
\iff \dfrac{2x^2+8x+6}{x(x+2)}\leqslant0
\iff \dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}\leqslant0$
Le num\'erateur est un trin\^ome du second degr\'e de discriminant
$\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines r\'eelles distinctes
$x_1=-3$ et $x_2=-1$. On peut alors dresser le tableau de signes:
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$-3$& &$-2$& &$-1$& &$0$& &$+\infty$
\\\hline
$x^2+4x+3$& &+& \zb&-& $|$ &-&\zb&+& $|$ &$+$&\\\hline
$x(x+2)$& &+& $|$ &+& \zb &-&$|$&-& \zb & +&\\\hline
$\dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}$
& &+& \zb &-& \db &+&\zb&-& \db & +&\\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi, $\mathcal{S}=[-3;-2[\cup[-1;0[$.
\enex
\bgex
On consid\`ere le polyn\^ome $P$ d\'efini par
$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.
\bgen
\item $P(1)=1-6+11-6=0$ et donc 1 est bien une racine de $P$.
\item $(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
et donc
$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\iff
\la\bgar{ll}
a=1\\
b-a=-6\\
c-b=11\\
-c=-6
\enar\right.$.
On trouve donc $a=1$, $b=-5$ et $c=6$,
ou encore
$P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$.
%\item $Q(x)=x^2-5x+6$ est un trin\^ome du second degr\'e de
% discriminant $\Delta=1>0$ et admet donc deux racines
% $x_1=2$ et $x_2=3$.
% On a alors le tableau de signes:
% \[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
% $x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &$+\infty$
% \\\hline
% $x-1$& &-& \zb&+& $|$ &+&\zb &$+$&\\\hline
% $Q(x)$& &+& $|$ &+& \zb &-&\zb&+& \\\hline
% $P(x)$& &-& \zb &+& \zb &-&$|$&+& \\\hline
% \end{tabular}
% \]
% On a alors $P(x)\geqslant0\iff x\in[1;2]\cup[3;+\infty[$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f(x)=x^2+mx+m$, o\`u $m$ d\'esigne un nombre r\'eel.
\bgen
\item $f(1)=1^2+m+m=1+2m=0 \iff m=-\dfrac12$.
Le produit des racines valant $\dfrac{c}{a}=m=-\dfrac12$,
on en d\'eduit que la deuxi\`eme racine est $-\dfrac12$.
%\item $f$ admet deux racines distinctes si et seulement si
% $\Delta>0$,
% soit
% $\Delta=m^2-4m>0$.
%
% $\Delta$ est un trin\^ome du second degr\'e qui a pour racines \'evidentes
% $0$ et $4$, et qui est positif \`a l'ext\'erieur de ses racines.
%
% Ainsi,
% $f$ admet 2 racines $\iff\Delta>0\iff m\in]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$.
\item $f(x)>1\iff x^2+mx+(m-1)>0$.
Ce trin\^ome est toujours positif (ne change jamais de signe, et en
particulier ne s'annule jamais)
si $\Delta=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2<0$,
ce qui est impossible, un carr\'e \'etant toujours positif ou nul.
Ainsi, il n'existe pas de valeur de $m$ telle que
$f(x)>1$ pour tout r\'eel $x$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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