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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques en 1ère S: second degré, équations et inéquations
Niveau
Première S
Mots clé
second degré, trinome du 2nd degré, équation du second degré, inéquation du second degré, mathématiques, 1èreS, 1S, première S
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: équations et inéquations du second degré},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: second degré},
    pdfkeywords={second deré, trinome du 2nd degré, équation du second degré, inéquation du second degré, mathématiques, 1èreS, 1S, première S}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
%a) $2x^2+5x+2=0$ est un trin\^ome du 2nd degr\'e de discriminant 
%$\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines r\'eelles: 
%$\mathcal{S}=\la -2\,;\,-\dfrac12\ra$
%
a) $x^2=7x \iff x^2-7x=0 \iff x(x-7)=0$
  soit $x=0$ ou $x=7.$

b) $-x^2+7x-3=5-2x \iff x^2-9x+8=0$\\ 
  $\Delta=49=7^2>0$, 
  donc l'\'equation admet deux racines r\'eelles distinctes :
  $x_1=8$ et $x_2=1$. 

%c) C'est le trin\^ome du a) qui a deux racines $2$ et $-\dfrac12$. 
c) Ce trin\^ome du 2nd degr\'e a pour discriminant 
 $\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines r\'eelles: 
 $\mathcal{S}=\la -2\,;\,-\dfrac12\ra$
 Il est donc strictement n\'egatif sur 
$\mathcal{S}=\Bigl]-2;-\dfrac12\Bigr[$. 

d) Lrin\^ome du d\'enominateur a pour discriminant 
$\Delta=11^2+4\tm2\tm6=169=13^2>0$. 

Le trin\^ome admet donc deux racines r\'eelles distinctes: 
$x_1=-6$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$. 

On peut alors dresser le tableau de signe de cette fraction: 
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$-6$& &$-\frac{2}{3}$& &$\frac{1}{2}$&&$+\infty$ 
\\\hline
$3x+2$&          &-& $|$ &-&      \zb    &+&$|$&+&\\\hline
$2x^2+11x-6$&   &+& \zb&-&      $|$    &-&\zb&+&\\\hline
$\frac{3x+2}{2x^2+11x-6}$&
 &-& \db&+& \zb    &-&\db&+& \\\hline
\end{tabular}
\]
On en d\'eduit les solutions de l'in\'equation: 
$\mathcal{S}=\bigr]-6\,;\,-\dfrac{2}{3}\bigr]
    \cup\bigr]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\bigl[$

e) 
$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x}\leqslant-2
\iff \dfrac{2x^2+8x+6}{x(x+2)}\leqslant0
\iff \dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}\leqslant0$

Le num\'erateur est un trin\^ome du second degr\'e de discriminant 
$\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines r\'eelles distinctes 
$x_1=-3$ et $x_2=-1$. On peut alors dresser le tableau de signes: 
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$-3$& &$-2$& &$-1$& &$0$& &$+\infty$ 
\\\hline
$x^2+4x+3$&   &+& \zb&-&      $|$    &-&\zb&+& $|$ &$+$&\\\hline
$x(x+2)$& &+& $|$ &+& \zb &-&$|$&-& \zb & +&\\\hline
$\dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}$
& &+& \zb &-& \db &+&\zb&-& \db & +&\\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi, $\mathcal{S}=[-3;-2[\cup[-1;0[$.

\enex


\bgex
On consid\`ere le polyn\^ome $P$ d\'efini par 
$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$. 

\bgen
\item $P(1)=1-6+11-6=0$ et donc  1 est bien une racine de $P$. 
\item $(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$ 
  et donc 
  $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\iff 
  \la\bgar{ll}
  a=1\\
  b-a=-6\\
  c-b=11\\
  -c=-6
  \enar\right.$. 
  On trouve donc $a=1$, $b=-5$ et $c=6$, 
  ou encore 
  $P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$. 
%\item $Q(x)=x^2-5x+6$ est un trin\^ome du second degr\'e de 
%  discriminant $\Delta=1>0$ et admet donc deux racines 
%  $x_1=2$ et $x_2=3$. 
%  On a alors le tableau de signes: 
%  \[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
%  $x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3&  &$+\infty$ 
%  \\\hline
%  $x-1$&   &-& \zb&+&      $|$    &+&\zb &$+$&\\\hline
%  $Q(x)$& &+& $|$ &+& \zb &-&\zb&+& \\\hline
%  $P(x)$& &-& \zb &+& \zb &-&$|$&+& \\\hline
%  \end{tabular}
%  \]
%  On a alors $P(x)\geqslant0\iff x\in[1;2]\cup[3;+\infty[$.
\enen

\enex


\bgex
Soit $f(x)=x^2+mx+m$, o\`u $m$ d\'esigne un nombre r\'eel. 

\bgen
\item $f(1)=1^2+m+m=1+2m=0 \iff m=-\dfrac12$. 

  Le produit des racines valant $\dfrac{c}{a}=m=-\dfrac12$, 
  on en d\'eduit que la deuxi\`eme racine est $-\dfrac12$. 

%\item $f$ admet deux racines distinctes si et seulement si 
%  $\Delta>0$, 
%  soit 
%  $\Delta=m^2-4m>0$. 
%
%  $\Delta$ est un trin\^ome du second degr\'e qui a pour racines \'evidentes 
%  $0$ et $4$, et qui est positif \`a l'ext\'erieur de ses racines. 
%
%  Ainsi, 
%  $f$ admet 2 racines $\iff\Delta>0\iff m\in]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$. 

\item $f(x)>1\iff x^2+mx+(m-1)>0$. 

  Ce trin\^ome est toujours positif (ne change jamais de signe, et en
  particulier ne s'annule jamais) 
  si $\Delta=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2<0$, 
  ce qui est impossible, un carr\'e \'etant toujours positif ou nul. 

  Ainsi, il n'existe pas de valeur de $m$ telle que 
  $f(x)>1$ pour tout r\'eel $x$. 
\enen

\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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